复变函数与积分变换__第1章剖析.ppt

第一章 复数与复变函数 复变函数与积分变换及应用背景 主 要 内 容 §1.1 复数 1.1.1 复数的概念 1.1.2 复数的四则运算 1.1.4 乘幂与方根 §1.2 复平面点集 1.2.1 区域 1.2.2 Jordan曲线、连通性 本章内容总结 两个复数相乘的几何意义 设两个复数对应的向量分别为 先将z1按逆时针方向 旋转角度 ,再将模 变到原来的r2倍,于是 所得的向量z就表示乘积 利用数学归纳法可以证明：如果 特别地, 如果 那么 那么 如果写成指数形式，即如果 那么 特别地，当|z|=r=1时, 变为 称为De Movie公式（棣摩弗公式）. 那么 De Movie公式仍然成立. 设 如果定义负整数幂为 当 (即 )时, 则 如果将z1和z2写成指数形式 于是 两个复数商的模等于它们模的商；两个复数 商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 方根, 记做 或 如果 于是将其代入方程, 可得 当 时, 对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次 满足以上三式的充分必要条件是 其中 表示算术根. 于是 当取k=0,1,2,···,n-1时, 对一个取定的q, 可得 n个相异根如下 由三角函数的周期性 可见, 除w0,w1,···,wn-1外, 均是重复出现的, 故 当z=0时, w=0就是它的n次方根. 常取辐角主值. 若用指数表示式, 则当z=reiq时, 这n个复数就是所要求的n个根. 在上面的推导过程中, 可取q为一个定值, 通 例1.5 求方程 w4+16=0的四个根. 因为-16=24e(2k+1)pi , 所以w4=24e(2k+1)pi . 于是 w1, w2, w3, w4恰好是以原点为圆心、半径为2的圆 一般情况下, n个根就是以原点为中心、 半径为 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数. |z|=2的内接正方形的四个顶点(如图). 例1.6 求 [解] 因为 所以 即 注：四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点. 1+i w0 w1 w2 w3 O x y 例1.7 设 求 解： 若取 则 若取 则 1 区域 2 Jordan曲线、连通性 1. 邻域 z0是复平面内的定点, 满足不等式|z-z0|d 的一切点所组成的集合{ z| |z-z0|d }称为z0的d 邻域, 简称为z0的邻域, 其中d0. z0的邻域实际 上是以z0为中心, d为半径的圆的内部所有点组 成的点集, 简记为D(z0,d). 由满足不等式0|z-z0|d的一切点所组成的 集合称为z0的去心邻域 . 满足不等式|z|R (R0)的一切点(包括无穷 远点)的集合称为无穷远点的邻域. 用R|z|+?表示无穷远点的去心邻域. 2. 内点 设E是复平面上的点集, z0是一个定点, 若存 在z0的一个邻域, 使得该邻域内的一切点均属于 E, 则称z0是E的内点. 即存在r 0, 满足 3. 外点 4. 边界点 设E是复平面上的点集, z0是一个定点, 若存 在z0的一个邻域, 使得在此邻域内的一切点均不 属于E, 则称z0是E的外点. 即存在r 0, 满足 设E是复平面上的点集, z0是一个定点, 若z0 的任何邻域内都含有属于E的点和不属于E的 点, 则称z0是E的边界点 . 即对任意的r 0, 存在 z1, z2?D(z0,r), 满足 显然, E的内点属于E, 而外点不属于E, 但 边界点既可能属于E, 也可能不属于E. E的边界点的全体所组成的集合称为E的 边界, 记做?E. 5. 开集 设G是复平面上的点集, 如果G 内每一点都 是它的内点,则称G 为开集. 例1.8 设z0是定点, r 0是常数, 则z0为中心, 以r为半径的圆的内部点, 即满足不等式 |z-z0|r 的一切点z所组成的点集 (z0的r邻域) 是开集. 当 0?rR (r 和 R 均是常数) 时, 满足不等式 r |z-z0|R的一切z所组成的点集也是开集. 但满足不等式 r|z-z0|?R的一切点所组成的 点集不是开集. 因为在圆周|z-z0|=R上的点属于 集合r|z-z0|?R, 但这些点不是它的内点, 而是边 界点. 在圆周|z-z0|=r和圆周|z-z0|=