复变函数积分剖析.ppt

-*- 工程数学---------复变函数 解法一 不定积分法 利用柯西—黎曼方程, 例2. -*- 工程数学---------复变函数 因而得到解析函数 （C是任意实数） -*- 工程数学---------复变函数 解法二 线积分法 因而得到解析函数 （C是任意实数） -*- 工程数学---------复变函数 解法三 全微分法 （C是任意实数） -*- 工程数学---------复变函数 解法四 所以有 那么 -*- 工程数学---------复变函数 又因为 的实部 所以 也就是 （C2是任意实数） 工程数学---------复变函数 柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , * -*- 工程数学---------复变函数 例7. 解: 计算 其中 C 为 正向圆周： 在C内作互不相交，互不包含的 只包含 只包含 圆周 得 C内包含奇点 由复合闭路定理， -*- 工程数学---------复变函数 -*- 工程数学---------复变函数 §3 柯西公式 定理1 如果 f (z) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线,它的内部完全含于 D, z0为 C 内的任一点, 则 1.柯西公式 -*- 工程数学---------复变函数 证： 当 时， 由于f (z) 在 连续， 所以 在C内部作圆周 那么 -*- 工程数学---------复变函数 而 即 所以 -*- 工程数学---------复变函数 注： 1）柯西公式常写作 2） 若 则 平均值公式 -*- 工程数学---------复变函数 例1.(§2 例6. ) 的正向简单闭曲线. 包含圆周 其中 C 为 解: -*- 工程数学---------复变函数 解: 其中 C 为 正向圆周： 例2. (§2 例7.) -*- 工程数学---------复变函数 例3. 解: 计算 其中 C 为 (1) 正向圆周： (3) 正向圆周： (2) 正向圆周： (1) -*- 工程数学---------复变函数 解: (2) (3) 例3. 计算 其中 C 为 (3)正向圆周： (2)正向圆周： -*- 工程数学---------复变函数 求下列积分的值. 解： 例4. -*- 工程数学---------复变函数 (2) 注意到函数 在 内解析，而 在 内，由柯西积分公式得 -*- 工程数学---------复变函数 故得到 设 例5. 根据柯西积分公式，得到 解： 求 -*- 工程数学---------复变函数 2. 解析函数的高阶导数 解析函数 f (z)的导数为解析函数, 其中 C 为在 f (z) 的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向 简单曲线, 而且它的内部全含于D. 定理2 它的n阶导数为: 注：高阶导数公式常写成如下形式 -*- 工程数学---------复变函数 例6. 解: 计算 的正向闭曲线. 其中 C 为绕 -*- 工程数学---------复变函数 例7. 解: 计算 在 内有奇点： 作圆周 于是 -*- 工程数学---------复变函数 所以 -*- 工程数学---------复变函数 §4 解析函数与调和函数的关系 定义1 在区域D内具有二阶连续偏 若二元函数 导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程 则称 为区域 D内的调和函数. 若 为解析函数， 定理1 则其实部 u 和虚部 v 都是调和函数. 设 f (z)=u+iv 在区域D内解析, 则由C.-R.条件 证： -*- 工程数学---------复变函数 得 同理, 即u及v都是D内的调和函数. 因 与 D内连续， 它们 必定相等， 故在D内有 -*- 工程数学---------复变函数 定义2 定理2 设 则 v(x,y)必为 u(x,y) 的共轭调和函数. u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R. 条件： 则称 v(x,y) 为 u(x,y) 的共轭调和函数. 是区域 D 的解析函数， -*- 工程数学---------复变函数 例1. 解: 已知 是右半复平