第二章 矩阵.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * -*- 法二(待定系数法) 带入方程可得 -*- 例3 设 A , B 和 A+B 均可逆 , 证明 也可逆,并求其逆. 证 例(08年考研)设 A 为n阶非零矩阵，若 ,则问 E－A和E+A是否可逆？ -*- 设 均为 阶矩阵，则 （1） 行等价的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 （2） 等价的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵 定理2.5 -*- 第二章 矩 阵 §2.2 可逆矩阵 §2.1 矩阵的运算 §2.3 分块矩阵 -*- §2.5 分块矩阵 把大矩阵分成小矩阵处理。 (1)简化矩阵计算； (2)通过小矩阵的性质推断大矩阵的性质； (3)突出矩阵结构,方便理论推导. -*- 称为按列分块 称为按行分块 称为2×2的分块矩阵,小矩阵A11等称为A的子块. -*- 运算规则 (1)设A , B的行数、列数相同, 且有相同的分法 -*- (2) 设 则 -*- (3) 设A与B可乘,且A的列分法与B的行分法相同 其中 则 -*- 例1 求 AB 直接计算 分块计算 -*- -*- (4) 设 则 -*- (5) 设 A 是 n 阶方阵 其中 都是方阵,则称A为分块对角矩阵. ①设 其中 为同阶方阵，则 ②若 都可逆，则 -*- 例2 其中 -*- 其中 -*- -*- 例3 ，求 解 -*- 例4 -*- (1) -*- (2) -*- 常用分块法 -*- (1) (2) 练习：写出C的行的两种表示方法. 书P.68 例3 -*- (1) (2) -*- 例4 设 A 为3阶矩阵 , P 是3阶可逆矩阵 , 是 P 的三个列向量且满足 求矩阵 B , 使得 解 -*- ,证明AB=0的充分必要条件 是B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解. 证 例5 -*- 例6 证 思考: AAT = O 如何? (令 B=AT看看) -*- 例7 证 设 ，且对任意n维列向量x都有 ， 证明 A = O . 特别取 即A的所有列都等于零. 得证. 体会一下这样写的简捷性！ 练习：设A是n阶方阵, 且对任意n维列向量 都有 , 证明 * * * * -*- 设B、C都是A的逆，则 B=BE=BAC=EC=C AB=BA=E AC=CA=E 从而， 定理2.1 如果A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。 证明： -*- (P34) 二、可逆矩阵的性质 -*- 注： 有惟一解，且解可表示为 阶方阵， 设 是 如果A可逆， 则线性方程组 定理2.2 -*- 例 -*- 把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵。 定义 记号 三、用初等变换法求逆矩阵 -*- ú ú ú ? ù ê ê ê ? é 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -*- 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。 性质 可作如下验证： -*- 计算 -*- (“左行右列”原则) P36 对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于在它的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应的初等矩阵。 结论 计算 -*- n阶方阵A可逆的充要条件是A可经过有限次初等行变换化成单位矩阵。 即n阶方阵A可逆的充要条件是A行等价于单位矩阵E。 定理2.3 推论2.1 方阵可逆的充要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积 (2) 方阵A可逆的充要条件齐次线性方程组 只有零解； (3) 方阵A可逆的充要条件非齐次线性方程组 有惟一解。 -*- (1) n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。 推论2.1 证明 必要性 由定理，知 ,即存在初等矩阵 ，使得 又因为初等矩阵可逆，则等号两边左乘 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，故得证。 充分性 -*- 设 即有初等矩阵 使得 问 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 作行变换