有限元经典第4章(免费阅读).pptVIP

计算固体力学 64学时 研510 周二、周四9、10、11节 * * 第四章 弹性力学问题的有限元法 §4.1 有限元法的基本思想 4.1.1 杆系结构的直接刚度法 静定桁架的内力可以通过节点的平衡方程求得，由内力和杆件断面积可求得杆件应力、应变，再求得节点位移 P P 静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。 §4.1 有限元法的基本思想 4.1.1 杆系结构的直接刚度法 静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。 由节点的平衡方程就可求得节点位移； 这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的单元刚度矩阵适当地组装得到。 F2x,,u2x F2y,,u2y F1x,,u1x F1y,,u1y 1 2 P 第四章 弹性力学问题的有限元法 §4.1 有限元法的基本思想 4.1.2 平面应力问题的有限元基本思想和瑞雷－里兹法 将结构剖分为单元，假定单元之间只在节点上连结起来。 将每个单元的节点力Ｆ和节点位移Ｕ联系起来，Ｆ＝ＫＵ，其中，Ｕ称为单元刚度矩阵； 由每个节点的平衡，可得到节点位移满足的线性代数方程组，求解该方程组得到节点位移。 有了节点位移可以确定单元的应变、应力 如何将结构剖分为单元？如何得到单元刚度矩阵？如何将单元刚度矩阵拼装为结构刚度矩阵？如何将作用在结构上的力转化为节点力？如何求解得到的线性代数方程组？如何在有了节点位移后求得应变、应力？ 最小总势能原理，在满足位移边界条件的所有位移中，真实的位移使系统的总势能取驻值（极小值）。 对于线性问题： 4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法 给定一个三角形单元和作用在角点上的六个力，要求得六个角点的位移。或者是要求三角形角点发生指定的位移，在三角形三个角点如何加力？ 很显然，问题的精确解很困难。采用瑞雷－里兹法求近似式解 3 1 v1 u1 2 v2 u2 v3 u3 f1x f2x f1y f3x f2y f3y §4.2 结构的离散化 网格剖分：前处理 如何将一个平面或空间区域剖分为有限元网格 网格剖分的质量：边长比；非凹性; 网格的协调性(一致性);在网格中任何一个节点必须是所有相邻单元的有限元节点. 贴体网格;准确描述边界;对结构的宏观量,如刚度、频率等，局部网格和边界有误差造成的影响不大，但对应力计算，特别是应力集中附近，如果网格不能准确描述边界，误差可以是非常严重的。对流体力学的流场计算，边界描述的误差也很大。 网格的疏密直接影响到计算结果的精度；网格和计算精度的后验估计; 为了在提高计算精度的同时又限制计算量过大的增长，网格过渡(graded mesh)是必须的;实现网格过渡对平面问题三角形单元和空间问题的四面体单元比较容易，但对平面问题四边形单元及空间问题的六面体单元就很不容易。基于有限元计算误差的后验估计的网格自适应技术(adaptive mesh); §4.2 结构的离散化 网格剖分：前处理 如何将一个平面或空间区域剖分为有限元网格 网格的全自动生成；网格剖分和有限元分析程序的连结；网格剖分能力需要和有限元程序的单元库相协调；边界变动问题（大变形，优化，流固耦合界面）的网格生成； 网格剖分和造型程序的连结； 结构化网格：映射法;　微分方程法；模板法；四分叉树，八分叉树法；非结构化网格;Denauly三角化； 等几何有限元;边界元;无网格法; §4.3 单元分析 1(i) 2(j) 3(k) 对节点1： 对节点2： 对节点3： 3节点三角形单元： 单元内任一点位移： 线性插值—平面 u1 u2 u3 1(i) 2(j) 3(k) 形函数 （插值函数） 同理： 其中： 形函数的性质： (1) (2) 位移： 应变： u1=1 u3=1 u2=1 N1(x,y) N2(x,y) N3(x,y) 应变： 应力： 应力： 单元刚度阵和有限元方程 1(i) 2(j) 3(k) x y 为作用于单元边界上的外力 为作用于单元内部的外力 单元刚度阵 作用在单元节点上的力： 单元刚度阵的物理意义：节点位移为单位位移时，需要加载节点上的力 概括起来： 基本问题：给定一个三角形单元和作用在角点上的六个力，求六个角点的位移。或者是要求三角形三个角点发生指定的位移，在三角形三个角点如何加力？ 采用瑞雷－里兹法求近似解，引入近似的许可位移： 3 1