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单元应变 单元应力 由于精度高，容易适应不同边界，在平面问题中常选用八结点四边形等参数单元。与此类似，在三维问题中常选用二十结点六面体等参数单元。如下图。 1、位移模式 采用与平面8结点四边形等参元类似的位移模式与坐标变换式： 2、单元中应变 根据复合函数求导规则，有 3、单元中应力 4、单元刚度矩阵(60X60) （2）面力 §4.4 高斯（Gauss）积分 在计算单元刚度矩阵和结点载荷向量式时，由于被积函数比复杂，一般很难直接积分求出，通常采用数值积分。基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然后用一些权函数乘这些函数值，最后求和就可得到近似积分值。有限元分析中，最常用的高斯数值积分法。 一维高斯积分公式 二维高斯积分公式 式中积分点和权函数仍按上表采用。 三维高斯积分公式 式中积分点和权函数仍按上表采用。 作业 5-3( 选作） * 第4章 等参单元 上次课内容回顾 §4.2 空间轴对称等参单元 对空间轴对称问题，常采用圆柱坐标系。r表示径向坐标，z表示轴向坐标，任一对称面为rz面。在有限元分析时，可采用轴对称的环形单元进行。和前面相同，坐标变换和位移模式分别具有下列形式： 对于4结点等参数单元，n=4，形函数Ni 如下 对于8结点等参数单元n=8，形函数Ni 取为 其中： 当r=0时，有εr= εθ,因此可用Ni,r代替Ni/r，消除奇异 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵[k]的分块形式 体力 等效结点荷载 面力 作用在η=1的边上表面力等效节点力可按下式计算 §4.3 空间等参数单元 其形函数为： 子块矩阵 [J]为雅可比矩阵，其表达式为： 5、等效结点荷载 （1）体积力 0.2369269 0.4786287 0.5688889 ± 0.9061798 ± 0.5384693 0 5 0.3478548 0.6521452 ± 0.8611363 ± 0.3399810 4 0.5555556 0.8888889 ± 0.7745967 0.0000000 3 1.0000000 ±0.5773503 2 权函数Hi 高斯点±ξi n 等参元数值积分中一般取2-3就可取得足够精度 等参元数值积分中一般取3-4就可取得足够精度 *
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