有限元法前处理技术的发展.docVIP

有限元法前处理技术的发展 ? 何发祥， 刘浩吾 ? （四川大学水利系，四川 成都610065） ? 摘要：论述有限元前处理技术的发展过程和主要方法，并以行波法生成三角形单元和合成法生成四边形单元的主要过程为例，系统地阐述有限元网格自动生成过程的一般步骤，网格优化及单元质量评价方法，并展望有限元前处理技术的发展趋势.分析表明，合成法生成四边形单元具有单元质量好，边界适应性强，适于自动生成等优点. 关键词：有限元；前处理；网格生成 ? 有限单元法作为一种极为有效的数值分析方法，广泛地应用于土木、机械、流体、渗流、热传导等诸多领域.以前，由于计算机速度慢，计算成本高，有限元中分析域的离散和数据准备均以人工方式进行.随着计算机技术的进步，大规模、高精度已成为现代有限元技术的新趋势，人工离散化工作已不再适应这种发展.因此前处理技术是影响有限元技术实际应用的关键. 1? 单元生成法分类 前处理技术伴随着有限元技术的发展而发展.最早的有限元网格自动剖分出现于70年代初［1］.首先在待解子域中随机生成节点，将其连接起来形成三角形单元.用Delaunay算法［2］可获得性能优良、形状最佳的三角形单元.因而颇受欢迎，成为三角形单元自动剖分的主要方法. 映射法也是早期出现的较优秀的方法，如保角映射法［3］ 、拉普拉斯映射法［4］、等参映射法［5］、超限映射法［6］和近几年在国内出现的模板法［7］.映射法需要准备大量的数据，只能算是半自动方法，但由于概念明确、方法简单、单元性能较好，对规则均一的区域，适用性很强（如图1），所以得到了较大的发展，并一度成为商用软件的主要方法. ? ? 此外，还有递归分解法［8］(又称拓扑分解法）、四分法［9］、Paving法［10］和前沿(front)法［11］，以及由前沿法改进而形成的行波(advancingfront)法［12］等均能生成质量较高的单元. ??? 三角形单元精度比四边形单元低但对边界的适应性强，应用广泛.在四边形单元生成法中，除了映射法、四分法和Paving法外，合成法［12］生成的四边形单元具有较高的质量. 90年代后，出现了自适应有限元技术［13］.程序根据控制误差的需要，自动进行网格的优化和细化，提高计算精度.这是目前有限元技术的最前沿课题之一.自适应技术的关键在于有限元计算的误差估算.最近几年中，关于误差估算有大量的文献出现，如关于线弹性问题［14］、高速水流问题［15］、Navier-Stokes方程［16］、Helmholt方程［17］、摩擦接触问题［18］等都有专门的算法. 表1是一些常用方法的特点和性能的比较分析（表中N为网格节点数）. ? ? 2? 网格自动生成法概述 通常，网格自动生成过程分数据准备和自动剖分两步进行. 2.1? 数据准备 任何一种生成法，其初始数据总是由人工准备的，其质量直接影响到单元质量.数据准备一般包括以下几个方面： a.子域的分解.由于有限元法所处理的目标域具有一定的复杂性和不规则性，很难有一种生成方法可以覆盖整个区域.通常把待处理域按一定条件如材料介质分区、网格密度分布、边界条件等进行分区(图2)，然后对这些子区域（也叫超单元）逐个进行自动剖分，并将其连接起来形成完整的剖分.因此子域化一般都是自动剖分的第一步. ? ? b. 边界描述.这是对待解区域的几何特征、连通情况、边界约束情况、材料介质分区、荷载条件及网格密度分布等边界情况进行描述，即进行边界离散.离散后的节点数目和节点位置要能用样条函数精确地表达其几何特征. c．多连通处理.若待解域是一个单连通域，则边界由一个封闭环组成.情况复杂时存在多连通域，这可有两种方法处理.一是对每个内部开口单独进行描述.另一种方法是用线段将其与最近的子域边界连接起来从而形成封闭的单连通域（图3）. ? ? d. 背景网格.为便于控制单元的密度分布和走向，常使用背景网格.控制参数位于网格节点上，其内部各点参数则通过节点参数内插产生.背景网格一般采用三角形，它应包含全部待解域（如图4），在网格的各个顶点上主要设置单元密度函数δ，单元走向总是沿一个固定方向如沿逆时针方向.背景网格越密，控制性越强，单元性能也越好. ? ? 2.2? 三角形网格生成法 三角形网格算法简单，生成容易，有较强的控制性，单元往往具有较好的形状和较强的边界适应性，因此颇受青睐，现在仍有很好的应用前景.下面主要概述行波法. 行波法是Parier等［19］在Lo的前沿法［11］基础上改进而成.其特点是采用节点和单元同时生成，即在产生一个新的节点时，也生成新的单元. 在生成单元之前，首先生成前沿(front).初始前沿由一系列边界上的单元边（每一条边由两端节点描述）按逆时针顺序排列而成.这些边是按背景网格上的单元密度函数离散而成的，其顺序和节点编号均按逆