概率统计41.pptVIP

市场上对某种产品每年需求量为 X 台，X ~ U [200,400], 每出售一台可赚 300元 , 售不出去，则每台需保管费100 元，问应该组织多少货源, 才能使平均 利润最大？ 解 设组织n 台货源, 利润为 Y 显然，200 n 400 应用 故 n=350 时, E(Y )最大 n=350 3. 数学期望的性质 (1) 设C是常数，则E(C)=C; (4) 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y). (2) 若C是常数，则E(CX)=CE(X); (3) E(X+Y) = E(X)+E(Y); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 （诸 Xi 独立时） 例 求二项分布的数学期望 若 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数 X~B(n, p)， 设 则 X= X1+X2+…+Xn i=1,2，…，n 可见服从参数为n和p的二项分布 的随机变量X的数学期望是np. = np 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p 所以 E(X)= E(Xi)= = p 例 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y). 解 由数学期望性质 X ,Y 独立 例 第四章 随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 例如 考察某型号电视机的质量： 平均寿命18000小时±200小时. 考察一射手的水平: 既要看他的平均环数是 否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的 波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地 描述随机变量在某些方面的重要特征, 这些数 字特征在理论和实践上都具有重要意义. r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 §4.1 随机变量的数学期望 例 用分布列表示 设 X 为离散 r.v. 其分布列为 若无穷级数 其和为 X 的数学期望，记作 E( X ), 即 1. 数学期望的定义 绝对收敛, 则称 定义1 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 定义2 前例 例 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 特例 若X ~ B ( 1 , p ), 则 E(X) 例 X ~ P (λ), 求 E( X ) . 例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) . 例 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 解 常见分布的数学期望 分布 期望 概率分布 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 注意 不是所有的 r.v.都有数学期望 例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为 但 发散 它的数学期望不存在! 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济. 验血方案的选择 应用 解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望. 设每人需化验的次数为X，则 X P 例如: 当 时, 选择方案(2) 较经济. 2.随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分