概率论-25随机变量的函数的分布.pptVIP

单调增， 单调减， 设随机变量X 的概率密度为 求Y = sinX 的概率密度。 例 解 反函数当 时 故 当 时 所以当 时 分布函数法： x sinx 0 π 1 y 当 时 当 时 当 时 所以当 时 而 求导得: * 分布函数法：将Y的分布函数F(y)用X的分布函数F(x)表示，进而利用复合求导，求出f(y). 总结对于F(x)区间讨论的一般情况。 * 分布函数法：将Y的分布函数F(y)用X的分布函数F(x)表示，进而利用复合求导，求出f(y). 总结对于F(x)区间讨论的一般情况。 §2.5 随机变量的函数的分布 一、随机变量的函数 二、离散型随机变量的函数的分布 三、连续型随机变量的函数的分布 在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题, 例: ☆　测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积： d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。 背景 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 一 随机变量的函数 设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X), 则在一些 条件下，Y也是一个随机变量。 当X取值x时，Y取值为y=g(x) 本节的任务： 已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X), 要求随机变量Y的分布(分布律或概率密度) 二、离散型随机变量的函数 概率函数为 是离散型随机变量，其 设 X ( ) 量，它的取值为 也是离散型随机变 ，则 的函数： 是 Y X g Y X Y = 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例. 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 故 第 一 种 情 形 注意 例. 第 二 种 情 形 例. 已知X 的分布律为 求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。 解 ⑴ 故Y的分布律为 ⑵ 故Z 的分布律为 求Z=X2＋1 设随机变量 X 具有以下的概率函数， pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 试求Y = (X-1)2 的概率函数. 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1, 例. 同理, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2, pk Y 0 1 4 0.1 0.7 0.2 所以，Y=(X-1)2 的概率函数为： pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 Y=(X-1)2 例.（续） 例. 例. （续） Ⅰ. 分布函数法（一般的函数都适用） ⑴ 先求 的分布函数 ⑵ 再利用 的分布函数与概率密度之间 的关系求 的概率密度为 三、连续型随机变量的函数的分布 区域找对至关重要 解 ⑴ 先求 Y =2X +8 的分布函数 设随机变量X 具有概率密度： 例 试求Y =2X +8 的概率密度 得 Y =2X +8 的概率密度为 利用 可以求得 连续型随机变量的函数分布不一定是连续型。 解：随机变量X服从[-1,1]的均匀分布，Y=sgnX,求Y的概率分布。 例 X的概率密度为： 连续型随机变量的函数分布不一定是连续型。 pk Y -1 0 1 0 Y是一个离散型 随机变量。 设随机变量X 具有概率密度 求 Y = X 2 的概率密度. 解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)： 例 故当 时， 当 时， （2）关于y复合求导， 解: 由题意可知 的取值范围为 例： ，求 的概率密度。 解: 由题意可知 的取值范围为 绝对值符号 定理： 设随机变量 X 具有概率密度 则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为 其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， 即 Ⅱ. 公式法（只适用于单调函数） 定理（续） 注：⑴ 只有当g( x)是x的严格单调可导函数时，才可用以上公式； ⑵ 注意定义域的选择。 例如 用公式法 故g(x)严格单调增，其反函数为 从上例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 . 例如，用