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所以 取傅立叶逆变换，得 t是参数 * * * 注意变量不要混淆 * 参数变异法求解 * 非齐次无限长弦振动，无限长弦的自由振动，达朗贝尔公式 * 参数变异法求解 * T是参数 * 非齐次无限长的弦振动------与D公式作比较 （2）高斯函数傅里叶变换 令 则 问题来源？ 问 解析延拓，取 * -R R 直接计算 * $ 3.3 ?－ 函数 * 数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限 一维 考虑线质量密度?l 总质量 的极限下总质量不变 密度 广义函数?－函数定义（2条）: * 性质 (1) 偶函数 从图形可以看出 (2) 阶跃函数或亥维赛单位函数 (3) 挑选函数： 对连续函数 ： * (3) 挑选函数： 对连续函数 ： * (4) 复合函数 若 的实根 全部是单根，则 * 证明：按定义 在第n个根附近积分 例 * ?函数是一种广义函数 * ?函数：狄拉克 保罗·狄拉克Paul Adrien Maurice Dirac，（1902年8月8日－1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾经主持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位。 他1926给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预测了反物质的存在。 1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式”（即量子力学的基本方程-薛定谔方程和狄拉克方程），狄拉克和埃尔温·薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。 * ?函数是一种广义函数-1： * ?函数是一种广义函数2 实轴上留数 * ?函数是一种广义函数3 * ?函数的傅里叶变换 * 从极限过程理解 -1： * 从极限过程理解-2： 例：将函数 表示成傅里叶积分，并证明 多维?函数 * 阶跃函数的傅里叶变换 不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限处理 事实上自变量为0时的函数值在应用上并不重要，可任意取有限值。 * 阶跃函数的傅里叶变换 * 多重傅里叶积分： ?函数的物理应用：格林公式（点电荷的场分布） 证明 ?函数应从积分意义理解 * 思考： 对于u(x,y), 若以 y 为参数, 对 x 作傅立叶变换 由傅立叶变换的线性性质 同理, 是参数  3.4 傅立叶变换的应用 * 例 1. 用积分变换法解方程： 解：由自变量的取值范围，对 x 进行傅立叶变换，设 那么方程转变为 * 解得 为了求出原方程的解,下面对 关于 进行 傅立叶逆变换. t是参数 * 例 2 用积分变换法解方程： 解： 作关于 的傅立叶变换。设 方程变为 * 可解得 而 则 上式两边关于x作逆傅立叶变换，得 * * 例 3 用积分变换法求解初值问题： 解：作关于 x 的傅立叶变换。设 t是参数 * 于是原方程变为 满足初始条件 * 的通解为 由初始条件 ω是参数 解常微分方程： * 取傅立叶逆变换，得 其中： 注意到 而 * 所以 取傅立叶逆变换，得 t是参数 * 第3章 傅里叶(Fourier )变换 让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶 （ 1768 –1830 ） （Jean Baptiste Joseph Fourier） 法国著名数学家、物理学家， 1817年当选为科学院院士， 1822年任该院终身秘书， 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席， 主要贡献： 1. 在研究热的传播时创立了一套数学理论 2. 最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根 个数的判别法等， 3. 傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出； 傅里叶(Fourier )生平简介 傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。 1780: 读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教， 1798: 随拿破仑军队远征埃及，任军中文书和埃及研究院秘书， 受到拿破仑器重， 1801: 伊泽尔省格伦诺布尔地方长官， 1807: 热传导的论文《热的传播》，呈交巴黎科学院，但经拉格 朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被拒绝，1811: 提交经修 改的论文，该文获科学院大奖，却未发表, [推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数] 1817: 当选为巴黎科学院院士, 1822: 专著《热的解析理论》, 1822: 科学院终身秘书 傅里叶(Fourier ) 傅里叶变换在物