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2008年9月24 南京航空航天大学 理学院 数学系 主讲教师：毛徐新 第1章 函数、极限、连续 第1节 集合、映射与函数 第2节 数列的极限 第3节 函数的极限 第4节 无穷小量及无穷大量 第5节 连续函数 第1节 集合、映射与函数 1.1 集合及其运算 1.2 实数集的完备性与确界定理 1.3 映射与函数的概念 1.4 复合映射与复合函数 1.5 逆映射与反函数 1.6 初等函数与双曲函数 1.1 集合及其运算 1.2 实数集的完备性与确界定理 例 设 对应关系: 既非满射, 又非单射; 满射, 非单射; 单射, 非满射; 满射, 单射, 即为一一映射. 对定义域内的任一x , (1) 如图, 令由A 到B的对应关系为 则f 是一个从A到B 的映射. 满射, 单射, 即为一一映射. (2) 令 则f 是一个从N+ 到B的映射. 满射, 单射, 即为一一映射. 映射又称为 算子。 根据集合A、B的 不同情形, 在不同的数学分支中,映射 又有不同的惯用名称： 非空集A到数集B的映射称为 泛函 非空集A到它自身的映射称为 A上的变换 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为 定义在A上的函数 定义 设A和B是两个非空集合，若存在映射 则称集合A与B对等(等势），记为 若两个集合彼此对等，则认为它们个数是相同的！ (1) 反身性： (2) 对称性： 若 ，则 (3) 传递性： 若 ，则 等价关系 对任意的集合A，B，C，对等关系具有如下性质 例 3 函数的概念 定义1.4 设实数集 则称映射 为定义在A上的函数, 通常简记为 自变量 因变量 定义域(domain) 定义中, 按对应法则f , 总有唯一 确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的 函数值, 记作 函数关系 函数值 全体组成的集合称为 range 记作 即 函数f 的值域, 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 两函数只有在定义域和对应法则皆相同时才能称为相同. 常用的定义函数的方法 列表法 图像法 取自变量在横轴上 在平面直角坐标系中, 因变量在纵轴上变化, 则函数的图形是指 变化, 平面点集: 通常是一条或几条 曲线(包括直线). 中的集合 函数的图像 函数的一种直观表示方法. 常用的定义函数的方法 解析法 显函数形式（y由x的解析式直接表示出来） 隐函数形式 （y没有由x的解析式直接表示出来) 分段函数形式（函数在其定义域的不同范围内具有不同的解析表达式） 例 设 则f (x)的定义域 2 0 填空: 2. 用分段函数表示函数 分段函数在其整个定义域上是一个函数, 答案: 即 注 而不是几个函数. 1 -2 4 3 几个今后常引用的函数 绝对值函数 例 定义域 值域 符号函数 定义域 值域 对 例 有 或 取整函数 如 例 当 阶梯曲线 定义域 值域 表示不超过x的最大整数 例 狄利克雷(Dirichlet)函数 (x为有理函数) (x为无理函数) 定义域 值域 有理数点 无理数点 y x o y x o 取最值函数 例 o y M -M x y=f(x) D 有界 1．函数的有界性: 例如 函数y=sinx,y=cosx在 （-∞,+∞)上均为有界函数. 函数的几种特性 是单调增加; 如果对 恒有 （若改为严格不等号时， 称为严格单调增加的） 2．函数的单调性: 例：y=ex 在（-∞,+∞)内单调增加。 是单调减少. 如果对 恒有 （若改为严格不等号时， 称为严格单调减少的） 注:单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数. 注 应指明单调区间 ,否则会产生错误. 3．函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x y x o x -x 奇函数 4．函数的周期性: 周期为 的周期函数 注: 并非所有周期函数都存在最小正周期. 定义 两个确定了先后次序的元素a, b组成的元素对, 称为有序元素对, 简称为有序偶, 记为(a, b)。 且规定 笛卡儿乘积 (a, b) =(c, d) 当且仅当 a=c, b=d. 注: 有序偶 (a, b) 和集合{a, b}的区别. 定义 有序偶集合{(a, b) | a ∈A, b ∈B}称为集合A和B的笛卡儿乘积, 记为A×B. 例 设A={1, 2, 3} , B={ x, y }, 求A×B, B×A 。 (2) 一般的,