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工程力学A(上) 北京理工大学宇航学院力学系 韩斌 * * * * * * (2-2) 30+5/II 两点速度关系(2.7) (2.8) ——B点相对于基点A的速度A B ——B点的速度 ——基点A的速度 每个矢量有大小和方向——共6个标量参数 一般平面运动刚体的速度分析即根据已知条件和约束特点分析各点速度大小和方向，列出上式后，找到6个量中至少4个量即可解出！ 两点速度关系(2.7)式为矢量方程=2个标量方程表示以A为基点时B点相对于A点的速度, (3)两点速度关系式中 关于(B相对于A的速度) 应注意： (1)的大小：vBA=??AB的方向：垂直于AB连线，指向与?的转向一致。 B A 若以B为基点求A点速度，则为表示以B为基点时A点相对于B点的速度， 且= －A B 刚体上任意两点的速度在其连线上的投影相等。(2.9) 2.速度投影定理A B 若已知一点速度矢量的大小及方向和另一点速度矢量的方向 ，就可求出其大小 。 速度投影定理刚体上任意两点的距离不变 本质为 3.速度瞬心法 定理：平面图形某一瞬时若角速度?不为零，则一定存在速度瞬心P，速度瞬心点的速度为的大小为vM= ?·MP,方向垂直于MP的连线，且与?的转动方向一致。 以速度瞬心P为基点，任意点M的速度为 (2.10)A B P 故该刚体在该时刻可视为 绕速度瞬心轴P轴的瞬时定轴转动。 （1）某个刚体的速度瞬心P点一般不是一个固定的点 （2）速度瞬心P点的速度为零，但该点的加速度一般不为零，不要用速度瞬心表示某点的加速度关系 （3）若仅在某一个时刻刚体的? = 0，则刚体该时刻为瞬时平移，即该时刻刚体的速度瞬心在无穷远处 注意 有关速度瞬心的注意事项: 4.速度瞬心位置的确定方法 (1)已知刚体上任意两个点A，B的速度方向(方位) 过A,B点分别向这两点的速度方向作垂线相交于一点,即为速度瞬心 （2）已知A，B两点速度的方向、大小，且 过该两点的速度矢量端点的连线与AB连线的交点为速度瞬心 （3）已知A，B两点的速度矢量方向平行 此时速度瞬心在无穷远处 ----称为瞬时平移该瞬时刚体上各点的速度矢量完全相同（但与平移刚体不同的是各点的加速度矢量不同） P O （4）平面图形沿某固定曲面作纯滚动，则任意瞬时速度瞬心为二者的接触点。 ? P A B C 任意一般平面运动的刚体，某瞬时找到速度瞬心P后，该瞬时可视其为绕速度瞬心作瞬时的定轴转动——速度分布图即可按照定轴转动做出 纯滚动圆轮 一般平面运动刚体上各点的速度分析方法 1.两点速度关系（基点法） 已知刚体上某点A的速度(取A为基点) ，求该刚体上另一点B的速度： 两点速度关系A B 方向垂直于AB,指向与一致 方向 大小例如： 刚体上任意两点的速度在其连线上的投影相等。(2.9) 2.速度投影定理A B 一般平面运动刚体上各点的速度分析方法 已知其中一点的速度大小方向和另一点的速度方向——可求其大小 3.速度瞬心法的大小为vM= ?·MP,方向垂直于MP的连线，且与?的转动方向一致。 以速度瞬心P为基点，任意点M的速度为 (2.10) 故该刚体在该时刻可视为 绕速度瞬心轴P轴的瞬时定轴转动。 一般平面运动刚体上各点的速度分析方法A M P 5.求解刚体平面运动问题的基本步骤 (1)分析系统中各部分刚体的运动形式(平移？定轴转动？一般平面运动？) (2)选择适当方法建立已知运动学量与未知量之间的关系：两点速度关系，速度投影定理，速度瞬心法。 (3)根据已知条件及分析与判断画出各点的速度矢量图。 (4)求解未知速度矢量的大小。 解题的第一步：抓住图中信息量大的关键点！ 即知道其速度（加速度）方向的点 如:平移刚体上的点,定轴转动刚体上的点 两点速度关系 大小 方向 ？ ？ 6项中最多2项未知 矢量方程 速度投影定理 标量方程 速度瞬心法 :先通过已知速度量找出刚体该瞬时速度瞬心位置，再求未知点的速度。 注意:作业中要求必须列出解题所用到的原始基本关系式——两点速度关系，速度投影定理，或画图求出的速度瞬心位置 例 题 1 ? 例题如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作纯滚动（无滑动的滚动），已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D各点的速度。 §2 刚体的平面运动 C A B D O vO C A B D O vO 例 题 1 ? 例题 解： 注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作纯滚动的条件：它与地面接触点C 的速度为零，即 因为轮心O点速度已知，故选O为基点。 ω 其中 vCO 的大小vCO =R ω 1)基点法 应用两点速度关系，轮缘上C点的速度可表示为：因此 （?） §2 刚体的平面运动 方向 大小 0 R?？ vCO vC=0 C A B D O vO vO vCO