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信号与系统 第二章 连续时间系统的时域分析 一、冲激响应 1、定义：LTI在零状态条件下，由单位冲激信号δ(t)作用所产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 2、h(t)的求解方法 例：描述某系统的微分方程为: 试求该系统的冲激响应h(t)。 解：由冲激响应的定义，当f(t)=δ(t)时， * * 系统的数学模型 微分方程 系统微分方程的解的形式 求解方法 卷积积分法 连续时间系统 主要内容 系统分析任务： 运用数学工具去处理，建立数学模型 对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。 2.1 线性连续系统的描述及其响应 一、LTI系统的微分方程描述 LTI数学模型 输入-输出特性 常系数线性微分方程 电路系统 基尔霍夫定律（KCL与KVL） 元件端口的电压-电流关系（VCR） 电阻： 1、VCR 电感： 电容： 2、基尔霍夫定律 对任一点，有 对任一回路，有 例1：如下图，写出电流ig(t)和电阻R1上电压u1(t)的微分方程表示式。 解：根据KVL： KCL: VCR: 3、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述： n阶常系数微分方程 n阶常系数微分方程的求解法 微分方程求解 时域分析法 （经典法） 变换域法 （拉普拉斯变换法） 全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 （自由响应） （受迫响应） 全响应= 零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程） （叠加积分法） 描述LTI激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程： 二、经典时域分析方法 （全响应=齐次方程通解 + 非齐次方程特解） 1、齐次解[yh(t)] 齐次解满足的齐次方程 系统的特征方程为 其中，λ是特征方程的根。 设齐次方程的特征根均为单实根λi（i为自然数），则微分方程的齐次解为 上式中，常数Ci由初始条件确定。 给出两项： 一对共轭复根 λ1,2=α±jβ 给出r项： r重实根 给出一项： 单实根 齐次解yh(t) 特征根λ 表2.1不同特征根所对应的齐次解 表2.2 列出了几种激励及其所对应特解的形式 有r重等于0的特征根 所有特征根均不等于0 α是r重特征根 α是特征单根 α不是特征根 P（待定常数） P B（常数） 备注 特解yp(t) 激励f(t) 2、特解[yp(t)] 特解的函数形式与激励函数的形式有关 3、全解[y(t)] 常系数线性微分方程的完全解是其齐次解与特解之和。即 系统本身的特性 激励信号 自由响应（固有响应） 强迫响应 例：若描述某LTI系统的微分方程为 y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=2f′(t)+6f(t) 求（1）当f(t)=t2，y(0)=2，y′(0)=-1时的全解； （2）当f(t)=e-t，y(0)=1，y′(0)=0时的全解。 解：（1）特征方程为λ2+5λ+6=0，其特征根λ1=-2，λ2=-3。 微分方程的齐次解为：yh(t)=C1e-2t+C2e-3t 由表2.2可知，当f(t)=t2时，其特解可设为：yP(t)=P2t2+P1t+P0 将其代入微分方程得 2P2+5(2P2t+P1)+6(P2t2+P1t+P0)=4t+6t2 解得:P2=1，P1=-1，P0=0.5 于是，特解为yp(t)=t2-t+0.5 全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e-2t+C2e-3t+t2-t+0.5 接着由初始条件确定待定常数C1、C2。 y(0)=C1+C2+0.5=1，y′(0)=-2C1-3C2-1=1 解得：C1=3.5，C2=-3。 最后得全解：y(t)=3.5e-2t-3e-3t+t2-t+0.5，t≥0 （2）齐次解同上。 当激励f(t)=e-t时，由表2.2知，其特解为：yp(t)=Pe-t 代入微分方程可得 ：Pe-t-5Pe-t+6Pe-t=-2e-t+6e-t 所以P=2， 全解为：y(t)=C1e-2t+C2e-3t+2e-t 由初始条件确定待定常数C1、C2。 y(0)=C1+C2+2=0，y′(0)=-2C1-3C2-2=1 特解为：yp(t)=2e-t 由此得：C1=-3、C2=1 最后得微分方程的全解为 y(t)=-3e-2t+e-3t+2e-t，t≥0 三、零输入响应和零状态响应 激励f(t) 起始状态{x(t0)} 总响应 零状态响应 零输入响应 仅有起始状态而激励为零时的响应 仅有激励而起始状态为零时的响应 自由响应 强迫响应 零