江西财经大学——线性代数PPT.pptVIP

线性代数 三.矩阵秩的行列式判别法 r阶子式：从矩阵A中任取r行r列交叉点元素构成的r行r列行列式 定理3.14 A中有一个r阶子式不等于零。则秩至少是r，R(A)≥r 定理3.15 R(A)=r的充要条件是：A中至少有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式都为零. 而所有四阶子式(只有一个) ?例 设有n维向量组 ,则向量组 线性相关. 不妨设 为行向量 构造矩阵 解 得 所以 线性相关. 矩阵的行秩与列秩相等。 事实上，上一章已证明，矩阵A经过一系列初等变换可以化为标准形 ． 而D的行秩，列秩均为r 定理3.11 显然 定义 矩阵A的行与列秩，统称为A的秩， 记为R(A). 对A施行初等变换化A为标准形,标准形中非零元素的个数就是A的秩。 求矩阵秩的方法： ?例 解 阶梯形矩阵特点： (1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 二.利用阶梯形矩阵求矩阵的秩 定理3.12　 矩阵A总可以经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵B。 定理3.13　 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数. ?例 求矩阵A的秩 解　 利用矩阵求秩法求向量组的秩 及讨论向量组的线性相关性 ?例 解　将向量列排构成行分块矩阵，再作行变换。 ?例 注意: 秩r=3并非任三个向量都可构成极大无关组。 解　将向量列排构成行分块矩阵，再作行变换． ?例 解　将向量列排构成行分块矩阵，再作行变换． ?例 解： 选取第一、二、四行，第一、二、三列得A的一个非零三阶子式 ∴R(A)=3 行最简形矩阵：(简化的阶梯形矩阵 ) 例如 练习 设 （1）求秩； （2）求一个极大无关组； （3）将其余向量用该极大无关组线性表示． 解 （1） （2）注意到 构成的向量组秩为3 知 的一个极大无关组. 为向量组 * * * * 任课教师：徐晔 第八次课 § 3.3 向量组的秩 § 3.4 矩阵的秩 目的要求 （1）理解向量组极大无关组与秩的概念； （2）了解向量组等价的概念； （3）了解矩阵的秩与其行（列）向量组 的秩 之间的关系； （4）掌握求向量组的秩、矩阵的秩，以 及求极大无关组的方法． 一. 向量组极大线性无关组概念 解　 引例　判定向量组 及其部分组的线性相关性． §3.3 向量组的秩 线性无关 线性相关 线性相关 线性相关 线性相关 注解　 对于一个线性相关向量组来说,它的部分组可能线性相关也可能线性无关，而线性无关的部分组中向量个数有一个、两个…不等，其中所含向量个数最多的线性无关部分组也不惟一． 定义　 设A是一个n维向量组, 的一个部分组;满足条件: 为A 添加A中任一向量后所得 线性无关; 的向量组线性相关. 则称 为向量组A的一个极大线 性无关组，简称极大无关组． ? 全部由零向量组成的向量组,　　极大无关组. ? 如果一个向量组线性无关,那么它的极大无 关组是 ?含非零向量的向量组　　 极大无关组； 没有 它自身. 不惟一. 必有 一般极大无关组 为了研究向量组的极大无关组，先介绍向量 组的等价 二. 向量组的等价 定义　 　如果向量组A与向量组B可以互相线性表示， 则称向量组A与向量组B等价，记为 设有两个向量组 的向量线性表示，则称向量组A可由向量组 如果向量组A的每个向量都可由向量组B中 B线性表示． ?例 证明 依题意可知，向量组B可由向量组A线性 表示． 又由 向量组A可由向量组B线性表示．故 解得 向量组等价有如下性质： (1)反身性： (2)对称性： 若 则 (3)传递性： 则 若 定理3.6 向量组和它的任意一个极大无关组等价． 向量组与极大无关组的关系 推论　 向量组中任意两个极大无关组等价． 定理3.7 如果向量组 可由向量组 线性表示，且ts，则向 量组 线性相关． 证明从略 设 则 线性相关． 证　由　　 得 于是 表明：向量组 线性相关． ?例 推论1 如果向量组 可由向量组 线性表示，且 线性无关，则 推论2 推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。 推论4 向量组的任意两个极大无关组所含向量的个 数相同。 任意m(mn)个n维向量必线性相关． 三. 向量组的秩 ? 完全由零向量组成的向量组,它的秩为 ? 定义 向量组　　　　　　的极大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩。记为 特别地 0。 线性无关 ? 向量组 ，总有 ? 任意