复变函数3.1.pptVIP

* 由此结论可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 即： * * 原函数之间的关系: 二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用 如果 f (z) 在区域D内存在原函数 ，则函数 在区域D内必是解析函数。 * 定理 * 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算. * 例1 解 * 例，计算下面积分。 * 问题：如果G是复连通区域，那么，定理是否仍然有效？ D 所谓复闭路是指一种特殊的有界多连区域 的边界曲线 ， 它由几条简单闭曲线组成， 可简单记为 ，其中简单 闭曲线 取正向，而简单闭曲线 取负 向，它们均在 的内部且互不相交，互不包含， 如图：上述 的方向称为区域 的边界曲线 正向。 * * 复闭路定理 * 特殊情况：闭路变形原理 由复合闭路原理 这就是闭路变形原理 * 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 说明： * 例1 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合原理, * 例2 解 依题意知, * 根据复合闭路原理, * 例3 解 * 故 这一结果很重要。 * * * * 由以上讨论可知，用上式计算积分 ??????????? 包含三个步骤： 1.写出曲线C 的方程 ??????????????????????????????????????? 2.将z=z(t)与dz=z(t)dt 代入所求积分 ??????? 3.计算(3-1-3)式右端的关于参数t 的积分． * 例3 解 积分路径的参数方程为 * 重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关. * 解 例 4 (1) 积分路径的参数方程为 y=x * y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 * 注意1 注意2 这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？ * * G y x o B A 如果在区域G内有 * 命题1 设 和 在单连域D内连续，积分路径C在D内，且记 ，则该积分与在D内的积分路径无关的充要条件为对D内的任何闭路C其积分值I=0。 命题2 设 和 在单连域D内具有连续的一阶导数 和 ，且满足条件 则对D内的任何简单闭路C有 * 对于式 右端的两个曲线积分，命题2的条件等式应当分别为 这是函数 f(z) 在单连通域 D 解析的必要条件 (C-R方程)。 问题 f(z) 在上述单连通域 D 内解析是否能保证它沿D内的任意简单闭路的积分为零？ * 定理1 Cauchy积分定理 若函数 在简单闭曲线C上及其内部解析，则一定有 Cauchy-Goursat基本定理 若 在单连域D内解析，则对D内的任何闭路C有 * 柯西积分定理 说明：该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；它是复变函数理论的基础。 若函数 在简单闭曲线C上及其内部解析，则一定有 * 定理2 复积分与其积分路径的无关性 若函数f(z)在单连域D内解析，则它在D内从定点z0到动点z 的积分值与在D内所取路径无关，而只与动点z 有关。 * 注意 定理不能反过来用. * 解 例1 根据Cauchy积分定理, 有 * 例2 解 根据Cauchy积分定理得 * * 例3 计算积分 解? 因为 ????????????????? 均在复平面上解析， 所以，它们的和在一包含积分路径 ??????? 的单连通区域G内解析，而积分路径 ??????? 是围线， 所以，由柯西定理得　　 ???????????????????????????????? 　　 显然，该例所用方法是最简单的． * * 定理2 复积分与其积分路径的无关性 若函数f(z)在单连域D内解析，则它在D内从定点z0到动点z 的积分值与在D内所取路径无关，而只与动点z 有关。 *