数理统计46534.pptVIP

数理统计 二、参数估计 点估计 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计 统计量 作为 的估计时,称为 的估计量，它的一组样本观测值 称为 的估计值. （一）点估计 1.定义 样本的某个函数 作为总体 分布中未知参数 的估计，则 称为 的点估计. 2.估计量与估计值 3.矩法估计 用样本的矩(原点矩或中心矩)或矩的函数代替 相应总体的矩或矩的同一函数而求得未知参数的 一种估计方法. (2) 矩估计法的步骤： 求出总体的矩 列矩估计方程 解上述方程(或方程组) 4. 最大似然估计 (1)定义 设总体X的概率分布为 为未知参数,则取自X的样本(X1, X2,‥,Xn )的联合 分布称为似然函数. 若有 使得 则 称为 的最大似然估计值 称为 的最大似然估计量 (2)最大似然估计的求解步骤：(最值问题) 写出似然函数 取对数的对数似然函数 分别对未知参数求偏导数,得似然方程 求解方程得驻点，确定最大值点 则称 为 的无偏估计. 设 为 的估计量,若 （二）估计量的评选标准 1.无偏性 2.有效性 设 均为 的无偏估计, 如果 则称 比 有效.若 的无偏估计 的方差达到最小，则称 为 的最小方差估计. 3.一致性 则称 为 的一致估计. 若对 有 （三）区间估计 设 为正态总体X的未知参数, X1, X2,‥,Xn 是来自 X的样本, 对给定的 如果两个统计量 满足 则称随机区间 为 的置信水平为 的置信 区间. 和 分别称为置信水平为 的双侧置信 区间的置信下限和置信上限. 单侧： 2.正态总体未知参数的双侧置信区间表 单个正态总体： 待估参数 ( 已知， 未知) 待估参数 ( 已知， 未知) 两个正态总体： 待估参数 ( 已知， 未知) 待估参数 ( 已知， 未知) 对应的统计量： 5.若 为 的最大似然估计, g(x)为单调函数,则 为 的最大似然估计估计. 4.若 为 的矩估计, g(x)为连续函数,则 为 的矩估计. （四）重要结论 1. 分别为总体EX,DX的无偏估计量. 2. 由大数定理易知 也是EX,DX的一致估计量. 3.若 则 为 的一致估计. 6.若 为 的置信水平为 的置信区间, g(x)为单调增加(减少)的函数,则 为 的置信水平为 的置信区间. 考点与例题分析 考点一：矩估计和最大似然估计. 例1.设总体X的概率分布为 0 1 2 3 其中 是未知参数,利用总体X的如下样 本值：3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计和最大似然估计值. 分析：矩估计用 计算即可； 最大似然估计的关键是写出似然函数，对离散型 情形，就是在对应样本观测值处的联合分布律. 解 令 即 得 似然函数为 令 即 解得 故得所求最大似然估计值为 舍去 取对数： 求导： 例2 (06) 设总体X的概率密度为 其中 是未知参数 X1, X2,‥,Xn 是来自X的简单样本, 记N为样本值x1, x2,‥,xn 中大于0小于1的数， (1)求 的矩估计；(2)求 的最大似然估计. 分析(1)先求出X的期望，再列矩估计方程即可. (2)先写出似然函数，再用似然估计法计算. * 一、数理统计的基本概念 二、参数估计 三、假设检验 一、数理统计的基本概念 （一）总体、个体和样本 1.总体：研究对象的全体，记为X . 2. 个体：组成总体的每个