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3.微积分基本公式 1. 变上限积分函数 2.变上限积分的导数 四、小结 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 解： 思考: 解: 思考: 若 , ,则 解: 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. 第三节 微积分基本定理 问题的提出 微积分第一基本定理 牛顿-莱布尼兹公式 变速直线运动中位移函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一、问题的提出 问题一 问题二 考察定积分 记 变上限积分函数 二、变上限积分函数及其导数 微积分第一基本定理 定理 （微积分第一基本定理） 即 微积分第一基本定理解决了第一个问题 微分运算与积分运算是互逆的 补充 证 注意： 两个x的意义不同 例1 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解 解: 例4 证 证 令 定义 设f(x)在某区间I上有定义，如果对 任意的x∈I，都有 则称函数F(x)为f(x)在区间I上的 原函数。 三、原函数和不定积分 定理4（原函数存在定理） 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 简言之：连续函数一定有原函数. 性质1 如果f(x)有一个原函数F(x)，则 必有无限多个原函数。F(x)+C 性质2（定理5）若函数f(x)在区间I上存在 原函数，则其任两个原函数之间只 相差一个常数. 这两条性质说明：当已知了f(x)在区间I上的一个原函数F(x),集合 表示了f(x)在区间I上的原函数的全体。 称为f(x)在区间I上的不定积分 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 定理 7（微积分第二基本定理） 四、牛顿—莱布尼茨公式 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 证 令 令 例 求 解 由图形可知 例 求 解 解 面积