第三章_MATLAB矩阵分析与处理.pptVIP

若A为实对称正定矩阵或复埃米尔特正定阵，则 一定能算出它的平方根。但某些矩阵，如A=[0,1;0,0]就得不到平方 根。若矩阵A含有负的特征值，则sqrtm(A)将会得到 一个复矩阵，例如： eig(A) ans =-1.445230.4452 B=sqrtm(A) B =0.9421 + 0.9969i 1.5572 - 0.3393i2.7683 - 0.6032i 4.5756 + 0.2053i 2．矩阵对数logm logm(A)计算矩阵A的自然对数。此函数输入参数 的条件与输出结果间的关系和函数sqrtm(A)完全一 样。例如： A=[4,9;1,5]; L=logm(A) L =1.0639 2.43080.2701 1.3340 3、矩阵指数expmexpm(A)的功能是求矩阵指数eA。例如，对上面 计算得到的A的自然对数矩阵L，求其矩阵指数。 B=expm(L)B =4.0000 9.00001.0000 5.0000从这个结果可见，这里所得B恰好与A相同。即expm与logm函数是互逆的。 4、通用矩阵函数funmfunm(A,’fun’)对方阵A计算由fun定义的函数的 矩阵函数值。例如，当fun取exp时，funm(A,’exp’) 可以计算矩阵A的指数，与expm(A)的计算结果一 样。 A=[2,-1;1,0] A =2 -110 funm(A,exp) ans =5.4366 -2.71832.7183 -0.0000 expm(A) ans =5.4366 -2.71832.7183 -0.0000 funm函数可以用于exp,log,但求矩阵的平方根只能用sqrtm函数p -1 A p = B 则称A和B相似。对A进行的变换称为相似变换。 * Rank即可求矩阵的秩 * * 首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 * 3．矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A) A=[14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0] A =14 -98-2 818-240 B=fliplr(A) B =8 -9 148 81 -204 -2 4．矩阵的上下翻转与矩阵的左右翻转类似，矩阵的上下翻转是将原矩阵的第一行与最后一行调换，第二行与倒数第二行调换，…，依次类推。 MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。 3.3 矩阵求逆与线性方程组求解 3.3.1 矩阵的逆与伪逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方 阵B，使得：A·B=B·A=I (I为单位矩阵) 则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易 出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。 求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。 例3.7 求方阵A的逆矩阵，且验证A与A-1是否是互逆 的。 A=[1,-1,1;5,-4,3;2,1,1]; B=inv(A); A*B ans =1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 B*A ans =1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.00000.0000 -0.0000 1.0000 上述计算中可见：AB=BA 即：AA-1=A-1A,故A与A-1是互逆的。如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B，使得：A·B·A=AB·A·B=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是：pinv(A) A=[3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1]; B=pinv(A) B =0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.39290.0357 0.0357 0.0357若A是一个奇异矩阵，无一般意义上的逆矩阵， 但可以求A的伪逆矩阵