选修4-4第一讲坐标系(极坐标系)..docVIP

极坐标系 教学目标：理解极坐标的概念，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别 以A为基点，射线AB为参照方向，利用与A的距离，与AB的所成角，就可以刻画平面上的点的位置。 极坐标系如何建立？ 极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；同时确定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度制)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样 就建立了一个极坐标系。 极坐标系内一点的极坐标的规定 设M平面上任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为r；以极轴OX为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为q，有序数对(r，q)就叫做M的极坐标，记为M(r，q) 一般地，不作特别说明，我们认为r≥0，q可以取任意实数。 例1 写出下图中各点的极坐标，并标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3)所在位置。 A( ) B( ) C( ) D( ) E( ) F( ) G( ) 约定：极点的极坐标是r=0，可以取任意角。 练习：在极坐标系里描出下列各点 A（3, 0） B（6, 2π） C（3, π/2） D（5, 4π/3） E（3, 5π/6） F（4, π） G（6, 5π/3） 建立了极坐标后，给定ρ、q，就可以在平面内惟一确定点M，反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标(r，q)。 练习：在极坐标系中，标出下列各点(4, π/6)，(4, π/6+2π)，(4, π/6+4π)，(4, π/6-2π)； 它们有什么关系？与直角坐标刻画点的位置时有什么区别？ 点的极坐标的不惟一性 由终边相同的角的定义，上述极坐标表示同一个点，实际上(4,π/6+2kπ)(k∈Z)都表示同一个点。 一般地，极坐标(r，q)与(r，q+2kπ) (k∈Z)表示同一个点，因此，与直角坐标不同，平面内点的极坐标有无数种表示。 当极角q的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(r，q)建立一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角. 负极径的规定 在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角 当r＜0时，点M(r，q)位于极角终边的反向延长线上，且OM=|r|。 M(r，q)也可以表示为(r，q+2kπ)或(-r，q+(2k+1)π) (k∈Z) 例2 在极坐标系中， (1)已知两点P(5，5π/4），Q(1,π/4)，求线段PQ的长度； (2)已知M的极坐标为(r，q)且q=π/3，r，说明满足上述条件的点M 的位置。 (3)若的的三个顶点为A(5，5π/2), B(8, 5π/6), C(8, 7π/6)，判定三角形形状？ (4)若A、B两点的极坐标为((r1，q1)，(r2，q2 )，求AB的长以及的面积。（O为极点） 例3 已知Q(r，q），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 (1)P是点Q关于极点O的对称点； (2)P是点Q关于直线q=π/2的对称点； (3)P是点Q关于极轴的对称点。 练习：1 在极坐标系中,与点(-8, π/6)关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) 2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。 3 设点A(2, π/3),直线为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A关于极轴、直线、极点的对称点的极坐标(限定，) . 4点(r，q)关于极轴,直线l极点的对称点的极坐标分别是_____________. ,, 极坐标与直角坐标的互化 平面内一个点可以用直角坐标和极坐标分别表示，那么这两种表示之间有什么关系？ 把直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(r，q），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 和 说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取r≥0，≤q≤。 3互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的单位长度相同. 例1（1）把点M 的极坐标化成直角坐标 （2）把点P的直角坐标化成极坐标 例2 若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系. 已知A的极坐标求它的直角坐标, 已知点