3一阶线性微分方程.pptVIP

* 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 一阶线性微分方程 一、线性方程 一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法) 齐次方程的通解为 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 非齐次线性方程的通解 相应齐方程的通解 等于 与非齐次方程的一个特解之和 即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 ——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。 例1 解 解方程 解 相应齐方程 解得 令 例2 代入非齐方程 解得 故非齐次方程的通解为 例3 解方程 解 这是一个二阶线性方程 由于其中不含变量 y 若令 化成一阶线性方程 其通解为 即 再积分 即为原二阶方程的通解 例4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 解 两边求导得 解此微分方程 所求曲线为 一阶线性微分方程的通解也可写成 方程 令 即化为一阶线性微分方程 注 二、伯努利方程 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 代入上式 求出通解后，将 代入即得 例 5 解 例6 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 注 利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法 如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 、Bernoulli 方程等 都是通过变量代换来求解方程的。 将 变换为 也是经常可以考虑的 *