2分段函数.pptVIP

7．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1) 5公里以内(含5公里),票价2元； (2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y元与里程x公里之间的函数解析式,并画出函数的图象． 解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式： y 5 x 10 15 20 1 2 3 4 5 O 图象为： 2.表示函数的式子可以不止一个，对于 分几个式子表示的函数，不是几个 函数，而是一个分段函数. 3.在学习过程中反复强调分段函数研究的方法：分段解决，并且要对结果进行 整合，体现了分类整合、数形结合的 思想。另外也要注意自变量的取值在 分段函数问题中的作用. 1.这节课主要学习了分段函数的表示法及其应用. 成功和失败本是同一片旷野，它是会令你溺水的深潭，也是能为你解渴的甘泉。 2 分段函数 在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同. 你能画出函数 的图象吗？ -2 -3 0 1 2 3 x y 1 2 3 4 5 -1 1．通过具体实例，了解简单的分段函数及其应用.（重点） 2．能够用列表法、图象法、解析法三种方法表示 分段函数.（难点） 探究：已知一个函数y=f(x)的定义域为区间[0，2]， 当x∈[0,1]时，对应法则为y=x,当x∈(1,2]时， 对应法则为y=2-x，试用解析法与图象法分别表示 这个函数. 解：已知的函数用解析法可表示为 是一个函数，不是两个 用图象表达这个函数，其图象由两条线段组成，如下图所示： 注意区间端点的取舍 像这样的函数，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数. 总结：对分段函数的理解应注意以下三点： （1）分段函数虽然解析式分成“若干段”，但仍是一个函数，而不能说是几个函数． （2）画分段函数的图象时，一定要注意是否包含区间端点，若包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点. （3）写分段函数定义域时，区间端点应不重不漏. 例1 在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资 80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g 不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg （0＜x≤100)的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数 的值域. 解：设每封信的邮资为y,则y是信封重量x的函数， 这个函数关系的表达式为 函数的值域为{80,160,240,320,400}.根据上述 函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图， 这个函数的图象如下图所示： · ○ · ○ · ○ · ○ · ○ 区间端点应不重不漏 点评： （1）本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； （2）本例也可用列表法表示函数，列表如下： （3）由此例可以看出，分段函数是一个函数，自变量所在区间变化，对应关系也随之变化.因此，它也可以用列表法、解析法、图象法表示. 信函质量x (单位：g) 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60 60＜x≤80 80＜x≤100 邮资y （单位：分） 80 160 240 320 400 【变式训练】 某汽车以52 km/h的速度从A地运行到 260 km远处的B地，在B地停留1.5 h后，再以65 km/h 的速度返回A地.试将汽车离开A地后行走的路程S表示 为时间t的函数. 【分析】因行驶速度不一样，故S与t的关系需用分段 函数表示. 【解】因为行驶速度不一样，可考虑分段表示, 260÷52=5(h),260÷65=4(h). 【评析】解决数学应用题的一般步骤：首先要在 阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象 成数学问题，经过去粗取精，利用数学知识建立 相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行 分析、研究，得出数学结论，最后把数学结论 （结果）返回到实际问题中. 所以 例2 求函数 的最大值. 分析：根据分段函数的解析式，先分别求其在每一段上的最大值，最后取所有最大值中最大的那个值作为整个分段函数的最大值. . 解:当 当 时， 当 时， 综上有 【提升总结】 方法技巧：求分段函数的值域、最值问题，通常有两种方法： 1.直接利用我们熟悉的函数的性质，求出分段函数在每一段上的值域，然后取并集. 2.数形结合，先画出分段函数的图象，然后通过图象，直接得出其值域. 【变式训练】 已知函数f(x)的解析式为：