35厄米算符本征函数的正交性.pptVIP

* §3.5 厄米算符本征函数的正交性 ? 已知表示力学量的算符都是厄米算符。厄米算符有二个重要的性质： a.厄米算符本征值是实数； b.厄米算符本征函数是正交的。 本节来介绍厄米算符第二个性质。 1．什么叫二个函数Ψ1、Ψ2的正交？ 若 （积分是对变量变化的全部区域进行），则称Ψ1、Ψ2相互正交。 (3.5.1） 2．厄米算符本征函数是正交的 分二步证明，先证属不同本征值的本征函数相互正交，再证属同一本征值的不同本征函数也可弄成相互正交。 a.属不同本征值的本征函数相互正交。 设Φ1、Φ2、…是厄米算符的本征函数，它们对应的本征值为λ1、λ2、…，则有 已知 并且 (3.5-2） (3.5-4） (3.5-5） (3.5-3） 证明： 左边 右边 所以， 得， ，（∵λk≠λl） (3.5.8） 由厄米算符的定义 这就是我们所要证明的. （2）分立谱、连续谱正交归一表示式 满足上式的函数系φn或φλ称为正交归一（函数）系。 1. 分立谱正交归一条件分别为： 2. 连续谱正 交归一条 件表示为 (3.5-9） (3.5-10） (3.5-11） 可合并为： 简并情况 如果 F 的本征值λn是f度简并的，则对应λn 有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf 一般说来，这些函数 并不一定正交。 但是 上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。 满足本征方程： 可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数,它们仍属于本征值λn 且满足正交归一化条件。 证明 由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j 可以满足正交归一化条件： 证明分如下两步进行 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn j可以组成。 (3.5-12） (3.5-13） 1. ψnj是本征值Fn的本征函数。 2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。 综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。 因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0， 所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本征值的正交归一化的本征函数。 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 （1）动量本征函数组成正交归一系 实例 （3）角动量本征函数组成正交归一系 1. Lz 本征函数 2. L2本征函数 （4）氢原子波函数组成正交归一系