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§3?3 随机向量的函数的分布与数学期望 今日要点 本节内容简介：Z=g(X,Y)分布函数密度函数求解 复习部分： 1.连续二元分布的联合边缘条件概率独立性等 正态分布举例 2.离散型Z=g(X) ,Z=g(X,Y)的分布求解方法eg3.13 Z=g(X)的分布求解方法？2.5节方法P(Y≤y) 新授 1.Z=g(X,Y)分布的公式推理；公式体系；雅科比法; 2.实践应用1)无界区间公式法 2)有界区间传统分布函数法 3)Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)求解及应用 3.期望的性质及其应用举例，最优进货量模型 一、离散型随机向量的函数的分布 离散型分布的公式法求解步骤+离散卷积公式 1小结：联合分布P(X=xi,Y=yj)=Pij,Z=g(X,Y)→Z的分布: P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yj)=zkP{X=xi,Y=yj} P(Z=zk)=∑g(xi,yj)=ZkPij 例1:P(X=i)=ai,P(Y=j)=bj,其中i,j=0,1,…, 若X,Y相互独立，则Z=X+Y的分布为: P(Z=k)=P(X+Y=k)=∑i=0kP(X=i,Y=k-i) =∑i=0kP(X=i)P(Y=k-i)=a0bk+a1bk-1+…+akb0 →P(Z=X+Y=k)=a0bk+a1bk-1+…+akb0 例2:X～b(n,P),Y～b(m,P)→X+Y～b(n+m,P) 理解:二项分布n次试验+m次试验=n+m次试验 2小结:二项分布+二项分布=二项分布 泊松分布+泊松分布=泊松分布 正态分布+正态分布=正态分布 二连续型Z=g(X,Y)的分布规律 FZ(z)=P(Z≤z)=FX + Y (z)=P(X+Y≤z); 二连续型Z=g(X,Y)的分布规律 FZ(z)=P(Z≤z)=FX + Y (z)=P(X+Y≤z); 二连续型Z=g(X,Y)的分布规律 FZ(z)=P(Z≤z)=FX + Y (z)=P(X+Y≤z); 二连续型Z=g(X,Y)的分布规律 FZ(z)=P(Z≤z)=FX + Y (z)=P(X+Y≤z); 二、连续型随机向量的函数的分布 实践举例109吴赣昌人大理工版 案例：设某电子设备系统征集设计方案，系统L是由两个独立子系统L1,L2连接而成，连接方式分别为串联、并联、备用(开关控制L1损坏则运行L2)，a,b0且a≠b,求寿命Z? X～fX(x)=ae-ax,x0; X～fY(y)=be-by,y0; 0 x≤0; 0 y≤0; 分析:Z1=min(X,Y);Z2=max(X,Y);Z3=X+Y Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-e-(a+b)z,z0 →fmin(z)=(a+b)e-(a+b)z,z0 Fmax(z)=FX(z)FY(z)=[1-e-az][1-e-bz],z0 →fmax(z)=ae-az?be-bz-(a+b)e-(a+b)z,z0 fX+Y(z)=∫?∞∞fX(z-y)fY(y) dy=∫0zae-a(z-y)?be-bydy 　　 =ab[e-az-e-bz]/(b-a) , z0 补充附录1-雅克比行列式确定fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy ||J||的求解方法 1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W) Z=g(X,Y)→X=W or Z=g(X,Y)→Y=W W=X →Y=g-1(w,z) W=Y →X=g-1(w,z) ②积分变换: ∫∫f(x,y)dXdY=∫∫f(z,w)||J||dzdw ||J||=|Xw’ Xz’|=Yz’ 同理||J||=Xz’ |Yw’ Yz’| 补充附录1-雅克比行列式确定-举例fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy 应用求解：Z=X+Y,Z=XY, Z=X/Y, Z=Y/X…… 1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W) Z=X+Y→X=W Z=X/Y→Y=W W=X →Y=Z-W W=Y →X=ZW ②积分变换: ||J||=1 ||J||=|W|=|Y| fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dxfZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy 补充附录2-什么时候用什么方法当被积