1线性规划及单纯形.ppt

第一章 线性规划及单纯形法 1.1 线性规划问题的数学模型 1.2 线性规划问题的图解法 1.3 线性规划问题的单纯形解法 1.4 非标准型线性规划问题的解法 线性规划问题的实践背景 线性规划问题的数学模型 线性规划问题数学模型的标准型 一、 线性规划问题的实践背景 线性规划问题起源于20世纪初期，在二战期间得到迅速发展 线性规划问题大致可以分为两类 给出一定量的人力、物力、财力或其它资源，如何统筹规划这些有限的资源完成最大任务； 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少的资源来完成它。 二、 线性规划问题的数学模型 例1-1 某工厂生产甲，乙两种产品，这些产品分别需要在ABCD四种不同的设备上加工。按工艺规定，产品甲，乙在各设备上所需要的加工台时数如表1所示，已知各设备在计划期内有效台时数分别是12、8、16和12。该工厂每生产一件产品甲可得边际利润2元，每生产一件产品乙边际利润3元。问应当如何安排生产计划，才能使利润最大化？（表1） 分析： 上述实际问题，通俗地说，就是在有效台时数一定的前提下，求使利润最大化的生产方案。 建模： 若以 分别代表产品甲，乙在计划期内的生产量。因为设备A的有效台时数为12，这是一个限制产量的条件，所以在确定产品甲，乙的产量时，要肯定不能超出设备A的有效台时数，即可用不等式表示为 ≤12 用Z表示利润，则目标函数 于是，上述最优生产问题可以归纳为以下数学形式 其中 　　必须满足以下条件 ≤ 12 ≤ 8 s.t. 　　　　　 ≤ 16 　　　　　　　　　 ≤ 12 　　　　　　　　　 ≥ 0 思考：模型与表（1）的对应关系？ 例1.2 某汽车厂生产大轿车和载重汽车，所需资源、资源可用量和产品价格如下表所示: 大轿车 载重汽车 可用量 钢材（吨） 2 2 1600 工时(小时) 5 2.5 2500 座椅 1 0 400（辆） 获利(千元/辆) 4 3 问应如何组织生产才能使工厂获利最大？ 例1.3 数学模型 例1.4 下料问题 某工厂要做100套钢架，每套有长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢组成，已知原料长7.4米，问应如何下料使需用的原材料最省。 解：如果从每根7.4米长的原料上各截一根2.9米、2.1米和1.5米长的圆钢，则还余0.9米，用100根原料，浪费预料共90米。现采用套裁的办法，设计五种方案，如下表所示。 圆钢套裁方案 例1.4 数学模型 设每个方案各下料 根，则有 小结. 线性规划问题数学模型的特征 线性规划模型的特征 上述问题可看出线性规划问题有如下特点： 1．用一组未知变量 表示某一方案，这组未知变量的一组确定值就代表一个具体的方案，这些未知变量称为决策变量。通常，根据决策变量所代表的事物的特点可以对变量的取值加以约束，例如非负约束、整数约束等。 2．存在一定的限制条件，通常称为约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或者线性不等式来表达。 3．有一个目标要求，并且这个目标可以表示为决策变量的线性函数，称为目标函数。按所研究问题的不同，要求目标函数实现最大化或者最小化。 小结：线性规划问题数学模型的特征 决策变量 小结：线性规划问题的规范描述 线性规划问题的规范描述 三、线性规划问题的标准型(SLP) 为什么要规定线性规划问题的标准型？ 便于比较，便于交流，便于计算机处理 可以只针对这种标准形式来研究它的求解方法，对于不同形式的线性规划问题，只需要将其转换为标准型，然后再按标准型的求解方法求解。 线性规划问题的标准型(SLP) 标准型的和式 标准型的矩阵式 各种符号的定义 例1.1 的标准型 例1.2 的标准型 1.2 线性规划问题的图解法 图解法 可行解及可行解集的特性 线性规划问题解的特点 单纯形法的思路 1.2 线性规划问题的图解法 图解法就是利用坐标图来求解线性规划问题，以例1.1的线性规划模型为例来介绍具体的求法。 图解法求解线性规划问题的一般步骤 建立直角坐标系 找出所有约束条件所构成的公共区域，即可行域； 改变目标函数值Z，使等值线平行移动，当移动到可行域