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第六章 非协调单元 有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。 对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。 本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。这些结论对四阶问题同样适用。 §6-1 Wilson 非协调元 图６-１ η ê ξ ４ ３ ２ １ （-1,1） （1, 1） （1,-1） （-1,-1） 1. 母体单元　形函数 母体单元ê：边长为２的正方形, 自然坐标：ξ、η 取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。 形函数 2. 实际单元　e 3. 单元内假设位移场 (6-1-1) y,v x,u 0 e 4 3 2 1 (x4, y4) (x3, y3) (x2, y2) (x1, y1) 图６－２ 单元内的位移场精度有所改善，二次函数 同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项： （2）补充这些项后，单元内的位移场是 ξ，η 的完全二次多项式。当实际单元 e 为矩形时，单元内位移场将是 x、y 的完全二次多项式。 这四项有如下特性： （1）不影响节点处的位移值，故称 αl 为非节点自由度或单元的“内自由度”。在计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力做功（为了将边界力化为等效节点力）时不计这些位移。即在计算边界外力做功时只计 Niui、Nivi 各项。 y,v x,u 0 e 4 3 2 1 图 ６－3 η ê ξ ４ ３ ２ １ （ξ,-1） Ｍ u2 v2 v1 u1 （3）协调性分析 沿单元的一边，例如节点１、２所在的边，η ＝－１。u,v是ξ的二次函数，完全被u1, v1,α1, 和u2, v2,α3 所决定。但由于不同单元的α1~α4 彼此独立，故不能保证单元之间位移的协调性。 能否保证收敛到真实解 ？ 平面应力问题为例。设节点总数为n，单元总数为m。则总的自由度可区分为： (6-1-2) 系统的总势能定义为 节点自由度 单元内自由度 号单元的变形能 号单元体积力做功 为各边界外力在位移　　　　　　　　　 上做的功之和 不计算边界力在内自由度上的功！ (6-1-3) 由 方程组： 求得的 ui, vi, αl (j) 以及由此求得的应力做为非协调单元的有限元解。 在（6-1-3）中共有2n+4m个未知量。比四节点等参元多了４m个未知量。但是α1 (j)、α2 (j)、α3 (j)、α4 (j) 仅属于第 j 号单元，故有 (6-1-4) 在单元分析时可以先消去αl (j) （这一步骤称为静凝聚），只剩下ui, vi 进入总体平衡方程。 有限元解： ４. 单元分析　　静凝聚 单元的外自由度： 单元的内自由度： （6-1-1）所定义的单元位 移场： （1）几何矩阵 应变 I for internal , E for external 几何矩阵 (6-1-6) （2） 单元刚度矩阵和体积力载荷向量 (6-1-7) 单元变形能 由于 [k] 为对称阵，必有 (6-1-8) (6-1-9) 体积力　　　　 做功 (6-1-10) (6-1-11) （3）静凝聚 (6-1-12) 内自由度： 略去（6-1-4）中的单元编号 j ，以（6-1-9），（6-1-10）代入，（变形能对内部自由度取偏导） 将（6-1-12）代入（6-1-9）和（6-1-10）有： (6-1-13) 式（6-1-13）右端第三项与{uE}无关，不影响πPh 取驻值。第一项为{uE}的二次型， 为凝聚掉内自由度后的单元刚度矩阵。 为凝聚内自由度后的载荷向量。 (6-1-14) (6-1-15) （４）　边界外载荷　　　 　 的等效节点力 (6-1-16) ５. 组装及求解总体方程 具体作法与协调单元作法相同 静凝聚与非协调元是两个不同的概念。静凝聚的目的是消去内自由度，以减少总体平衡方程的规模。不论是协调元还是非协调元，只要存在内自由度，都可以在单元分析过程中将内自由度凝聚掉；不进行静凝聚，除了增加解总体方程的工作量外不会有其它任何（好的或不好的）影响。静凝聚方法也广泛地用于组合