有限元分析-03.pptVIP

第3章 空间问题有限元法 实际上工程中，大部分结构形状复杂，须按照空间问题分析，不能简化为平面问题。 弹性力学对于空间问题尤其是不规则体，往往无能为力，有较大的近似。 有限元方法具有优势，选用位移模式时，只需要求 阶连续性，即位移在单元之间连续即可；空间单元与平面单元一样容易构造。 3.1 四面体四节点单元 空间体中，最简单的几何体应该为四面体，弹性体可以无限制地离散为若干四面体。 四面体单元中最简单的是四节点单元，一种常应变单元。 考虑任一四面体单元： Ⅰ、取四面体的4个角点为节点，节点编号： ，右手法则排序。 空间问题中， 每一节点有3个位移分量。 单元的节点位移列阵可按节点号分块： (3.1) 单元内的位移模式，为满足完备性条件，至少应取为坐标的线性函数； 单元共12个节点位移分量，而线性位移函数亦为12个待定系数，刚好可由节点位移分量位移描述。 位移模式即可由单元节点位移的插值函数构成： (3.2) 矩阵形式： (3.3) 分别将节点位移、节点坐标代入， 得到， 求逆矩阵后， 即可由 替换， (3.4) 按节点分块， (3.5) 其中 为3阶单位矩阵 同样引入 矩阵： (3.6) 四面体体积为(节点编号按右手系顺序，其体积恒为正值)： 各节点的形函数可以表示为： (3.7) 分别为 中第一行各列元素对应的代数余子式，同三角形单元中描述雷同，如： 则为第二行各列元素对应的代数余子式，余类推。 检验： 对任一节点形函数 ，其它节点坐标代入均将导致 ，仅节点本身的坐标代入时 ； 收敛性：位移函数是线性的，包含有常数和线性项，即含有刚体位移，常应变，满足完备性条件； 位移为线性函数，在单元内自然连续；在单元之间的交界面上，位移仍线性变化，可由节点位移唯一确定，所以位移在两单元之间的交界面连续。 具有 阶连续性，为协调单元。 Ⅱ、应变应力 空间中每一节点有6个应变分量： (3.8) 按节点分块, (3.9) 所有 均由节点坐标构成，为一常量， 为常量矩阵，单元内的应变为常应变分布。 单元内的应力： (3.10) 单元内的应力亦为常应变分布。 Ⅲ、单元刚度矩阵 单元节点力与节点位移之关系，同样可以由虚位移原理导出。 虚位移原理：当单元在节点力作用下处于平衡状态，给定单元一约束条件所允许的任意小的虚位移时，节点力在虚位移上所作之功就等于单元内应力在相应虚应变上所作之功。 可导出相应的有限元方程： (3.11) 其中， (3.12) 由虚功原理将外载荷转换为节点处的等效节点载荷（等效节点力） ， 考虑体积力 、面力 、集中力 (3.13) 讨论： 四面体单元与前述三角形单元的推导过程完全相似，尤其形函数的表述很相似，二者均为常应变单元； 在三角形单元中，可以引入面积坐标，从而建立高精度单元；在四面体单元中，是否可引入体积坐标？建立高精度的如线性应变的四面体单元？ 在商业软件中，由CAD、ProE等转换到有限元软件的前处理程序中，一般只能自动生成4面体单元，包括4节点，10节点等多种单元。 3.2 六面体单元 空间问题中常采用六面体单元，如长方体（正方体）单元。 取其8个角点为节点，每一节点3个自由度，则单元有24个自由度。 同样，可引入局部坐标系 ，以简化运算。 关键问题在于位移模式的选取： U函数中，除了线性项 ，常数项 外，可取 ， ， 3项。还需引入一项 ，这里考虑了几何各项同性，取8项含8个待定系数，可由单元节点位移唯一确定。 同理，对V、W位移函数可取相同类型。 令： 8节点的长方体单元的形函数： (3.14) (3.15) 3.3 轴对称问题 定义：几何形状对称于某一固定轴；约束条件和外载荷都对称于这一固定轴；结构的位移、应变、应力都将对称于该固定轴，则这类特殊的空间问题就称之为轴对称问题。 通常采用柱坐标系 描述；对称轴为 轴，所有位移、应力、应变与 方向无关，仅为 的函数； 任一点只有沿 方向的径向位移 、沿Z 方向的轴向位移 ，没有环向位移。 空间中的轴对称问题一般可归结为准二维问题。 任一点有三个正应变、一个剪应变分量，及对应的应力分量：