数字信号处理知识点 整理 Chapter 3.docx

第三章 自适应数字滤波器引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。本章主要涉及自适应横向滤波器、自适应格型滤波器、最小二乘自适应滤波器。自适应横向滤波器自适应线性组合器和自适应FIR滤波器是自适应信号处理的基础。自适应线性组合器和自适应FIR滤波器自适应滤波器的矩阵表示式滤波器输出：用表示，自适应滤波器的矩阵形式为式中 误差信号表示为 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：称为性能函数，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量：令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：要求和最佳权系数，先求自相关矩阵和互相关矩阵。性能函数表示式及几何意义最陡下降法3.2.1给出了要求和最佳权系数的理论求解方法，但实际很难应用。工程上常采用牛顿法和最陡下降法有哪些信誉好的足球投注网站最佳值。用最陡下降法有哪些信誉好的足球投注网站最佳权系数：其中是调整步长。该式表示下一个权矢量等于现在的权矢量加上一个正比于负梯度的变化量。最陡下降法递推公式*两边同时减去最佳权矢量，令为权偏移量：令可得收敛条件要使，需满足是对角矩阵，对角线元素为，既有过渡过程保证收敛的条件下，越大收敛越快，波动越大；越小收敛越慢，轨迹越平滑。在实际应用中，通常取其中便是滤波器的长度，表示信号的平均功率，一般用所有样本的时间平均代替。最小均方（LMS）算法上节提到的最陡下降法要求求出均方误差的梯度，这一点很难精确求得，因此采用一条样本曲线对均方误差梯度进行估计，这便是LMS算法。LMS算法的权值计算均方误差的梯度可用 来表示；作为对均方误差的的估计，用 来表示。，是对均方误差的无偏估计。递推公式：LMS算法加权矢量的过渡过程是随机变化的，LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的，其统计平均值等于最陡下降法加权矢量。LMS算法性能函数的过渡过程稳态误差和失调函数失调系数自适应格型滤波器自适应格型滤波器收敛速度快，滤波器节点数易改变，一个节的格型滤波器可以产生相当于从1阶到阶的个横向滤波器输出。前、后向线性预测误差滤波器前向线性预测误差滤波器用前p个数据预测。前向线性预测误差滤波器可以由信号的线性一步预测直接导出：前向预测误差滤波器的系统函数Yule-walker方程，式中 ，。后向线性预测误差滤波器用后p个数据预测。预测值改写上式为 后向预测误差滤波器的系统函数及与前向系统函数的关系：Yule-walker方程， 式中 ，。比较前向和后向Yule-walker方程可知：Levinson-Durbin 算法Levinson-Durbin 算法首先由1阶AR模型的系数a1,i开始，通过递推得到p阶滤波器系数ap,i和相应的最小均方误差。一般递推公式：其中，称为反射系数。格型滤波器由预测误差滤波器导出格型滤波器前面已经推导出前、后向预测误差滤波器的形式，对于一个阶的预测误差滤波器，对应的有一组最佳权系数以及相应的最小均方误差。这些参数可由Levinson-Durbin 算法递推出。根据前、后向误差的定义，可以得到格型滤波器前、后级预测误差之间的关系。矩阵形式更好记（对称矩阵，前向为n，后向为n-1）：式中p表示滤波器阶数，n-1表示对n的延时，明白这两点可以根据上式画出格型滤波器。令初始节点为 格型滤波器性质各阶后向预测误差相互正交平稳随机序列可由自相关函数（Yule-walker）或反射系数（Levinson-Durbin）表征Yule-walker方程和Levinson-Durbin递推公式解之间的关系前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，后向预测误差滤波器是最大相位滤波器对于复信号的预测误差滤波器和格型滤波器最小均方误差自适应格型滤波器该方法可以直接通过信号数据求反射系数。格型滤波器前后参数隔离，后面的参数不影响前面最佳参数的选择。已知前阶的最佳参数，只需设计第阶的参数使得第阶预测误差功率最小。设计准则：使前、后向预测误差功率的和最小的原则求反射系数。可以推得实际计算中，用时间平均代替统计平均一种更有效的算法：梯度算法。带入梯度计算结果可得：式中，，为步长因子。结合格型滤波器前、后级预测误差之间的关系和初始条件可以逐步推出各阶的反射系数。小结本节讨论自适应格型滤波器，其基础是前、后向预测误差滤波器。前、后向预测误差滤波器类似于一步线性预测，理论上可以由Yule-walker方程求得各阶的加权系数和最小均方误差。由于Yule-walker方程求解过程复杂，故采用Levinson-Durbin递推算法，可根据信号的自相关函数递推反射系数、各阶加权系数和最小预测误差。预测误差滤波器实际上就是通过自适应调整使得预测误差值最小化，从而得到最佳预测值，本质是求最小预测误差使得最佳。由前、后向预测误差滤波器引出