导数复习69177学习笔记.docVIP

考点一：求导公式。 例1. 是的导函数，则的值是 。 解析：，所以 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则 。 解析：因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以，所以 答案：3 例3.曲线在点处的切线方程是 。 解析：，点处切线的斜率为，所以设切线方程为，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为： 答案： 题型一：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线在点处的切线方程是 2．若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为 （1，0） 3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 4．求下列直线的方程： （1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5)的切线； 解：（1） 所以切线方程为 （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为， 所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。 解析：直线过原点，则。由点在曲线C上，则， 。又， 在处曲线C的切线斜率为， ，整理得：，解得：或（舍），此时，，。所以，直线的方程为，切点坐标是。 答案：直线的方程为，切点坐标是 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知在R上是减函数，求的取值范围。 解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。所以，当时，函数对为减函数。 当时，。 由函数在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。 当时，函数在R上存在增区间。所以，当时，函数在R上不是单调递减函数。 综合（1）（2）（3）可知。 答案： 题型二：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（A） （B） （C） （D）( A ) 3．方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型三：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（A） （B） （C） （D）( A ) 3．方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 在区间上的最大值是 2 2．已知函数处有极大值，则常数c＝ 6 ； 3．函数有极小值 －1 ,极大值 3 考点五：函数的极值。 例6. 设函数在及时取得极值。 （1）求a、b的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。 解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，．即，解得，。 （2）由（Ⅰ）可知，，。 当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立， 所以　，解得　或，因此的取值范围为。 答案：（1），；（2）。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：①求导数； ②求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由 过的切线方程为： 而过 故 ∵ ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2） 当 又在[－3，1]上最大值是13。 （3）y=f(x)在