导数的应用72241学习笔记.docVIP

1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为()，则导函数的图像大致为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。 2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） （A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 【答案】C 【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。 3.（安徽卷理17）设为实数，函数。 (Ⅰ)求的单调区间与极值； 4.（安徽卷文20）设函数，求函数的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值. 【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. 5.（北京卷理18）已知函数()=In(1+)-+(≥0)。 (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间。 解：（I）当时， 由于所以曲线处的切线方程为 。即 （II） 当时， 因此在区间上，；在区间上，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，得; 因此，在区间和上，；在区间上，； 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，.的递增区间为 当时，由，得； 因此，在区间和上，，在区间上，； 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。 6.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式； （Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。 7.（福建卷理20） （Ⅰ）已知函数，其图象记为曲线。 （ⅰ）求函数的单调区间； 【解析】（Ⅰ）（i）由得=， 当和时，； 当时，， 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。 8.（福建卷文22）已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为. （Ⅰ）求实数a，b的值； 9.（湖南卷文21）已知函数其中a0,且a≠-1. （Ⅰ）讨论函数的单调性； 10.（江西卷理19）设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在上的最大值为，求的值． 考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 【解析】对函数求导得：，定义域为（0，2） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当a=1时，令 当为增区间；当为减函数。 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。 当有最大值，则必不为减函数，且0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。。 11.（江西卷文17）设函数. （1）若的两个极值点为，且，求实数的值； （2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由. 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 【解析】 （1）由已知有，从而，所以； （2）由， 所以不存在实数，使得是上的单调函数. 12.（全国Ⅰ卷文21）已知函数 （I）当时，求的极值; （II）若在上是增函数，求的取值范围 解：（Ⅰ） 当时，，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值. 所以是的极小值. 13.（全国Ⅰ新卷理21）设函数。 若，求的单调区间； 若当时，求的取值范围 解：（1）时，，. 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 （II） 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ， 从而当，即时，，而， 于是当时，. 由可得.从而当时， ， 故当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为. 14.（山东卷文21）已知函数 （I）当时，求曲线在点处的切线方程； （II）当时，讨论的单调性. 【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能