第九章多元函数微积分及其应用习题参考答案学习笔记.docVIP

习题9-1 多元函数的基本概念 1.求下列各函数的定义域： （1）； （2）。 解 (1) 函数的定义域为. (2) 函数的定义域为. 2.求下列各极限： （1）； （2）. （3） （4） 解 (1) 原式 (2) 原式 (3) 令，原式 (4) 令，则原式 习题9-2 偏导数 1.求下列函数的偏导数： （1）； （2）； （3）. 解 (1) (2) ; . (3) . （4）设，其中可导，证明 证 , 左边右边 2.求下列函数的，和. （1）； （2）. 解 (1) . (2) , , . 习题9-3 全微分 1.求下列函数的全微分： （1）； （2）. （3）. （4） 解 (1) 因为, ,所以. (2) 因为,所以 . (3) ，所求的全微分为 . (4) 因为 ， , , 所以. 2.求函数，当，，，时的全增量和全微分。 3.设，求 解 ; . 故 . 习题9-4 多元复合函数的求导法则 1.设，而，，求，. 2.设，而，，求. 3.设，而，，求. 4.求函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数） 解 将中间变量依次编为1,2,3号,则有 , , 5.设，而，为可导函数，证明 . (注: 本题包含了四则运算、复合运算和抽象函数的偏导数计算问题) 6.设，其中具有二阶导数，求，，. 解 令,则, , . 习题9-5 隐函数的求导公式 设，求. 解法1 令,则 , 由隐函数求导公式,当时,有 . 解法2 等式两边分别对x求导,得,即 ,整理得,所以. 设，求及. 解 方程为3元方程,在满足隐函数存在定理的条件下,可确定一个二元函数.由题目要求知,方程确定z是x, y的函数. 解法1 用隐函数求导公式 解法2 将原方程变形为,方程两边分别对x 和y求偏导, ,即.整理得 . ,即.整理得. 3. 设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足. 分析：方程有三个变量,因而可确定一个二元函数.该题目是一个复合函数和隐函数混合型题目! 证法1 记为变量u, 为变量v,则由隐函数偏导数公式 , , . 当时,有 , , 所以 . 证法2 令.方程两边分别对x, y求偏导得 ,所以. ,所以. 故 . 4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： （1），求，. 分析: 方程组为三个未知量,两个方程的方程组,故可确定两个一元函数.由题目要求知,x, y是因变量, z为自变量. 解法1 用复合函数求导法有 解法2 用方程组确定的隐函数求导公式. 令,则 . , 所以 . . 解法3 通过解方程，用z 将x, y表示出来，在求一元函数的导数。但一般情况，这样做并不方便。有时还不一定能解得出来。 （2），求 解法1 方程组两边分别对求偏导数得 , . 解法2 用方程组确定的隐函数求导公式. 令,则 . , 所以 . . . . 习题9-6 多元函数微分学的几何应用 1. 求曲线在与相应的点处的切线及法平面方程。 解 曲线与相应的点为.曲线在该点处的切向量为.故切线方程为 , 法平面方程为 即 . 2. 求曲线，在点处的切线及法平面方程。 3.求曲线，在点处的切线及法平面方程。 解法3 令,当 时,有 , . 所以,在点处的切线方程为,即. 法平面方程为,即.副样子 4. 求椭球面上平行于平面的切平面方程。 5. 在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线方程． 解 设所求点为，, ，法向量， 由题意知 ，得 法线方程：. 习题9-7 方向导数与梯度 1. 求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。 2. 求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。 3. 求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。 4. 设，求及. 5. 求函数在点处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。 6. 求函数在沿着方向的方向导数． 解： , 习题9-8 多元函数的极值及其求法 1. 求函数的极值。 2. 求函数在适合附加条件下的极大值。 3. 在平面上求一点，使它到，及三直线的距离平方之和为最小。 4. 将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可