导数的应用72627学习笔记.docVIP

导数的应用 学习目标 导数对于研究函数的意义 认识导数对于研究函数的变化规律的作用； 会用导数的符号来判断函数的单调性； 会利用导数确定函数的极值点和极值. 导数在实际问题中的应用 进一步体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型； 联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义； 从实际情景中抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决. 二、知识结构图 三、基本题型与解决方法 1.函数的单调性： （1）研究不含参数的函数单调性的步骤：确定函数定义域， . （2）含参数问题：①注意根据 ②已知函数在某区间的单调性，求参数取值范围. （3）利用构造函数法证明不等式. 2.函数的极值： 求函数极值的步骤：确定函数定义域， 3.函数的最值： 四、练习题 1. （2012年高考（陕西理））设函数,则 （　　） A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点在区间上的最大值是 . 4．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求函数的极值.为实数，函数. (Ⅰ)求的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当且时，. 6. （2010全国卷2理数）（22） 设函数． （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）设当时，，求a的取值范围． 7. （2010全国卷1理数）已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）证明： . 8. （2012年高考（天津理））已知函数的最小值为,其中. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最小值;(Ⅲ)证明.定义在上，，导函数 （Ⅰ）求的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论与的大小关系； （Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 10. （2012年高考（陕西理））设函数(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.，其中． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立． 导数的应用教案 学习目标 1.导数对于研究函数的意义 （1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用； （2）会用导数的符号来判断函数的单调性； （3）会利用导数确定函数的极值点和极值. 2.导数在实际问题中的应用 （1）进一步体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型； （2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义； （3）从实际情景中抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决. 二、知识结构图 三、基本题型与解决方法 1.函数的单调性： （1）研究不含参数的函数单调性的步骤：确定函数定义域， . （2）含参数问题：①注意根据 ②已知函数在某区间的单调性，求参数取值范围. （3）利用构造函数法证明不等式. 2.函数的极值： 求函数极值的步骤：确定函数定义域， 3.函数的最值： 四、练习题 1. （2012年高考（陕西理））设函数,则 （　　） A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点解析:,令得,时,,为减函数;时,,为增函数,所以为的极小值点,选D.在区间上的最大值是 . 4．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求函数的极值.【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的值及其几何意义,两条直线的判定等基础知识,考查运算求解能力.解:(1)因,故由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即,从而,解得(2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去),当时,,故在上为减函数;当时,,故在上为增函数;故在处取得极小值. 为实数，函数. (Ⅰ)求的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当且时，. 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （Ⅰ）解：由 令的变化情况如下表： — 0 + 极小值 故的单调递减区间是，单调递增区间是， 处取得极小值， 极小值为 （Ⅱ）证明：设 于是 由（Ⅰ）知当 于是当 而 即 6. （2010全国卷2理数）（22） 设函数． （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）设当时，，求a的取值范围． 于是在处达到最小值，因而当时，，即. 所以当时，. （Ⅱ）由题设，此时. 当时，