高中-数学--线性规划.docVIP

线性规划 一、知识梳理 1.目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3.整点:坐标为整数的点叫做整点． 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、线性规划的有关概念： 1、线性约束条件： 2、线性目标函数： 3、线性规划问题： 4、可行解、可行域和最优解： 三、二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 四、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域。 特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律：(总之：看Y) 1.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）; 2.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下） 当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：（1）点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）Ax2+By2+C)0 （2）点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）Ax2+By2+C)0 练习：画以下不等式表示的区域： 五、疑难知识导析 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点通常 选择原点代入检验． 3.平移直线 ｙ＝－kｘ＋Ｐ时直线必须经过可行域 4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点． 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解. ，，为顶点的三角形内部的平面区域． 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线的斜率为；其方程为． 可求得直线的方程为．直线的方程． 的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内（如图）． 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组 表示． 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出表示的区域，并求所有的正整数解． 解：原不等式等价于而求正整数解则意味着，还有限制条件，即求． 依照二元一次不等式表示的平面区域， 知表示的区域如下图： 对于的正整数解，容易求 得，在其区域内的整数解为 、、、、． 3设，，；，，，用图表示出点的范围． 分析：题目中的，与，，是线性关系． 可借助于，