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分解因式及方法之----分组分解法及十字相乘法一、知识点精讲：1、分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。2、十字相乘法：1）、使用十字相乘法把二次三项因式分解，如果常数项分解成、两个因数的积，并且＋等于一次项系数，那么二次三项式2）、使用十字相乘法把二次三项式分解因式，如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式：借助于画十字交叉线排列如下： 3、复习1）、因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解是整式乘法的逆运算．2）、因式分解的方法：①提公因式法：；②运用公式法：平方差公式：，完全平方公式：；③十字相乘法：，；④分组分解法：将多项式适当分组，再选择上面提到的方法进行分解。3）、因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。4）、说明：①因式分解要进行到不能再分解为止；②结果中相同因式应写成幂的形式；③根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。二、典型例题讲解及思维拓展：考点一、分组分解的常见方法与技巧：1、四项分组（有两种方法）① 三项和一项 例1、 a2 + 2ab + b2 － c2 △ △ △ △ = （a2 + 2ab + b2 ）－ c2 完全平方 平方 = (a + b ) 2 － c2 = ( a + b + c ) ( a + b – c)② 两项和两项 例2 、 a2－ b2－ a－ b△ △ △ △ = （a2 － b2 ）－（ a + b ）能提公因式 或用两项的公式 = (a + b)(a – b )－ ( a + b ) = (a + b)(a – b － 1 ) (2) 五项分组 （两种分法） ① 三项和二项 例3、 a2 + 2ab + b2 + ac + bc△ △ △ △ △ = (a + b ) 2 + c ( a + b ) 二次三项式 公因式或两项公式 = (a + b)(a +b +c)② 两项和两项和一项 例4、 a2－ b2+a－5b－6△ △ △ △ △ = （a2－ b2）+(a－5b)－6平方差 一次项 常数 =(a + b)(a – b) + a – 5b – 6 = (a + b+3 )（a – b – 2） ( a + b ) 3 ( a–b ) － 2 3 ( a – b ) – 2 （a + b ）= a －5 b(3) 六项分组 （三种分法） ① 三项和三项 例 5、 a2－ b2+2 a x －2by + x2－ y2 △ △ △ △ △ △ = （a2 +2 a x + x2 ）－（b2+ 2by + y2） 二次三项式 二次三项式 = （a + x ）2 –( b+y)2 = （a + x + b+y）（a + x – b – y ）② 三项 、两项和一项 例6 、 x2+xy-2y2-x+7y-6 △ △ △ △ △ △ =（x2+xy+2y2）-x+7y-6 x +2y二次三项式 一次项 常数项 = (x+2y )(x-y)-x+7y-6 x -y = (x+2y-3)(x-y+2) 2xy-xy=xy (x+2y) -3 (x-y) +2 2x+4y-3x+3y=-x+7y以上方法即“双”十字相乘法 ③ 两项 两项 两项 例7 、 a x – ay + x2 – y2+x – y △ △ △ △ △ △ = (ax－ ay ) + (x2 – y2) + (x – y )两项中有公因式或能用两项的公式 = a ( x –y ) + ( x + y )( x－y)+( x－y ) = ( x－y)( a + x –y + 1 ) 变式议练：把下列各式分解因式1、 2、 3、 4、 x2 + y2 –2xy + ax –ay 5、 x2 + 3xy+2x+2y2+ 4y6、 a2 b2 + 1 –2ab + 2xy–x2–y27、2x2 +7xy –15 y2 –4x + 19y–6 8、 a2 – b2