满秩矩阵及满秩矩阵的应用讲解.docVIP

满秩矩阵及满秩矩阵的应用 专业：通信与信息系统 姓名：李娜 学号：6120140151 目录 一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 2 1.1矩阵的秩 2 1.2满秩矩阵 2 1.3满秩矩阵的性质 3 1.3.1行(列)矩阵的一些性质 4 1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 6 二、满秩矩阵在必威体育官网网址通信中的应用 8 2.1 基于满秩矩阵的必威体育官网网址通信模型 8 2.1.1加密必威体育官网网址通信模型 8 2.2.2满秩矩阵的应用 9 2.2密钥的生成 10 2.2.1加密密钥的生成 10 2.2.2解密密钥的生成 10 2.3其它问题 11 2.3.1明文矩阵的选择 11 2.3.2加密矩阵的选择 11 2.3.3算法优化 11 一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。 1.1矩阵的秩 设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1 在mn矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。 定义2 A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A）rank（A）≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。 由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。 1.2满秩矩阵 定义1 设A为m×n矩阵，如果A中不为0的子式最高阶数为r即存在r阶子式不为0.而任何r+1阶子式皆为0，则称r为A的秩，记作（A）=r，或r(A)=r0当r(A)=min(m,n)时，称矩阵A为满秩矩阵。 定义2 设A为m×n矩阵，如果A中不为0的子式最高阶数，称为矩阵A的秩，记为r(A),称r（A）=n的n阶方阵A为满秩矩阵，r（A）pn的n阶方阵A称为降秩矩阵。 例如 由定义1，A是满秩矩阵，由定义2，A不是满秩矩阵，也不是降秩矩。 由定义1，B是满秩矩阵，由定义2，B不是方阵也就不是满秩矩阵。 由定义2可知，n阶方阵可逆的充要条件是A满秩（r（A）=n）。若按定义1，A为满秩，则A不一定是方阵。 从以上两种定义不难看出，对满秩矩阵的定义和由定义所引出的结论是非常混乱的。因此，对满秩矩阵的定义亟需改进，以求统一形式，统一的认识就显得非常重要了。 事实上，关于满秩矩阵的定义，根据实际需要，我们给出如下定义是较为适当的。 定义：一个m×n矩阵如果它的秩等于m，则称它是行满秩矩阵；如果它的秩等于n，则称它是列满秩矩阵，若m=n且该矩阵是行满秩矩阵（也是列满秩矩阵），那么这个矩阵就称为满秩矩阵（或称满秩方阵），否则就称为降秩矩阵。 由此，前面的矩阵A是行满秩矩阵，而B是列满秩矩阵。 又如下 , 是满秩矩阵； 是降秩矩阵。 显然满秩矩阵与非奇异矩阵或可逆矩阵是等价的，因而，由定义所引出的结论也就统一了。 1.3满秩矩阵的性质 首先, 关于行（列）满秩矩阵有如下事实： （1）若A 是数域F上的m×n列满秩矩阵, 则n≤m, 即列数总不超过行数, 故是“高”矩阵；若A是数域F上的m ×n 行满秩矩阵, 则n≤m, 也即行数总不超过列数, 故是“偏”矩阵. (2)行满秩矩阵A 的转置AT是列满秩矩阵；列满秩矩阵A 的转置AT是行满秩矩阵。因此，关于行满秩矩阵的一些结论,相应地,对于列满秩矩阵也同样成立。 1.3.1行(列)矩阵的一些性质 引理1 　设A是数域F上的m ×n 矩阵, 则 （1）A 是列满秩矩阵的充分必要条件为存在m 阶可逆矩阵P , 使 (2) A 是行满秩矩阵的充分必要条件为存在n阶可逆矩阵Q ,使A=(Em 0)Q