高一数学把握轨迹要点 掌握求解方法.docVIP

感悟曲线与方程 曲线与方程是解析几何中不容忽视的重要内容，它为研究曲线的性质提供了重要的前提，教材中的二次曲线的性质都是在先解决方程的基础上研究的，同时在高考中也常有涉及，经常在解析几何题目的第一问中考查。如何求动点的轨迹方程是其重中之重，学习时需要掌握常用的求解方法，下面就帮助同学们抓住轨迹的含义要点，掌握求轨迹的常有方法。 曲线与方程的含义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件下的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）。 要点剖析： （1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，说明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）。 （2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 判断下列命题是否正确 (1)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (2)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (3) △ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（－1，0），D为BC中点，则中线AD的方程x=0 解:（1不正确，不具备纯粹性，应为y=±1. (2)正确。 (3)不正确，不具备完备性，应为x=0(-3≤y≤0). 轨迹的求解方法 直接法 当动点满足的调节是一些关系式时，可直接将关系式坐标化，而得出轨迹方程，这种求 解方法叫做直接法。 例2 设动直线垂直于轴，且与椭圆相交于两A,B点，P是上满足条件 的点，求点P的轨迹方程。 分析：直接法的一般步骤是：建系-设点-列式-化简-证明，关键步骤在于对式子的化简，最后的证明通常省略。 解：设，代人得，再设，由已知得，因点P也在上，故 （1），即； （2）若点P在线段AB的延长线上或反向延长线上，则即， （-2x2）综上，点P的轨迹方程为和（-2x2）。 评注：本题要注意对点P位置的讨论，如果只注意点P在线段AB上或其延长线上，那么就会漏掉轨迹，破坏了轨迹的完备性；如果方程中忽视了限制条件（-2x2），那么就混有假轨迹，破坏了轨迹的纯粹性，对此引为重视。 定义法 当动点满足的条件符合某已知曲线定义时，则可根据该曲线的定义建立轨迹方程。这种 求解方法叫做定义法。把握有关曲线定义的实质是求解的关键。 例3 已知，以C为一个焦点，作过A,B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程。 解：因为A,B为椭圆上的点，C,F为椭圆的焦点，故由椭圆的定义得 ，由知， 所以，故由双曲线定义知，F的轨迹是以A,B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，其方程为。 评注:涉及焦点、准线、焦半径的轨迹问题，通常要考虑圆锥曲线定义的应用。 待定系数法 当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件建立关于待定系数的方程（组）为直径的半圆ADB中，,P是半圆弧上一点，,曲线C是满足为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P，建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程。 分析：本题涉及一动点到两定点距离差的绝对值，容易想到利用双曲线定义，用待定系数法求解。 解：以O为原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系，则 ，依题意得， 故曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线，设双曲线方程为，由解得，所以所求双曲线的方程为。 评注：利用曲线C是过点P将转化为是解题的关键。 4．参数法 当动点P(x,y)的坐标x,y之间的直接关系不易或无法找到，也没有相关点可用时，可考虑x,y用一个或几个参数来表示，如，消去参数t得轨迹方程，此法称为参数法。这是求轨迹方程的一种非常重要的方法。运用此法时应注意合理选用参数，如斜率k、角、时间t等，然后将x,y用参数表示出来，应明确参数的取值范围，确保轨迹的纯粹性和完备性。 例5已知线段，直线l垂直平分，交于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点，使，求直线BP与直线的交点M的轨迹方程. 解析：以O为原点，BB’为y轴，为轴建立直角坐标系，则，，设，则由，得，则直线BP的方程为；直线和方程为， 因此点M的轨迹为长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除B，）. 评注：参数法是选修中的重要考查内容之一，因此在轨迹方程中要给予足够的重视。在本题中影响动点P的因素很多，比如直线BP的斜率、动点P的坐标等，本题也可选择BP的斜率作为参数。 用心 爱心 专心