高三数学多面体、立体综合（理）人教版知识精讲.docVIP

高三数学多面体、立体综合（理）人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 多面体、立体综合 二. 重点、难点： 1. 2. 3. 多面体、简单多面体、凸多面体 4. 正多面体，只有五种（正四、正六、正八、正十二、正二十） 5. 欧拉公式： 【典型例题】 [例1] 某简单几何体，由16个三角形围成，则这个几何体有 个顶点。 解： F=16 ∴ [例2] 某简单几何体，由三角形围成，有10个顶点，其中四个顶点引出四条棱，6个顶点引出三条棱，则这个几何体有 个面。 解： V=10 F=9 [例3] 正四面体ABCD，棱长均为，则高= ，体积 ，侧棱与底面所成角 ，侧面与底面所成角 ，内切球半径 ，外接球半径 ，AB、CD的距离 。 解：E为BC中点，H为垂心 ∴ ∴ 解依次为：，，，，，， [例4] 半径为1的球的内接正四棱柱的体积的最大值。 解：设底面边长为，高为 ∴ ∴ 时， [例5] 直三棱柱中，AC=BC=AA1=2，，E、F、G为AC、AA1、AB中点，求证： （1）面EFG； （2）求异面直线FG与AC1所成角； （3）求三棱锥的体积。 解： （1）面EFG （2）D为A1C1中点 ∴ ∴ 为与GF所成的角 ∴ 与GF所成角为 （3）（，面EFG） （A，面GEF） ∴ （A，面GEF）= ∴ （，面GEF）= ∴ [例6] 四棱锥棱长均为1，，并且面EAC//PB。 （1）求二面角； （2）求CE与底面所成角； （3）求AB、CE所成角； （4）求四面体EPBC的体积。 解：面ABCD ∴ 连EH ∴ E为PD中点 （1）二面角 即二面角为 （2）F为DH中点，连EF ∴ EF//PH ∴ EF⊥面ABCD 为所求 EC ∴ （3）AB、CE所成角为 （4） [例7] 等腰梯形ABCD中，CD=12，AB=20，高为，MN为上下底边的垂直平分线，沿MN折成二面角。 （1）求AC、MN所成角； （2）求AE、MN距离； （3）求AC与面ADMN所成角。 解： （1）过C作CE⊥DN于E ∴ CE//MN ∴ 为所求 NE=6 AE=14 CE=MN= （2）过N作NF⊥AE于F，NF为MN、AE公垂线 ∴ （3）于H ∴ CH⊥面ADMN 为所求 CH= AC=16 [例8] 矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1。 （1）为何值时，BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD； （2）当BC上有且仅有一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角。 解： （1）面PAQ BC上存在点Q 以AD为直径的圆与BC有交点 ∴ （2）由上，时，仅有一点 ∴ Q为BC中点，E为AD中点，连QE//AB ∴ QE⊥面PAD 过E作EH⊥PD于H ∴ 为二面角平面角 QE=1 EH= 【模拟试题】（答题时间：45分钟） 1. 下列命题①多面体的面数量少为4，② 正多面体只有5种，③ 凸多面体是简单多面体，④ 一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 正十二面体和正二十面体的棱数分别是（ ） A. 29，30 B. 30，30 C. 30，31 D. 32，35 3. 其正棱锥的底面边长与侧面棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 4. 下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ） A B C D 5. 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角总和为（ ） A. B. C. D. 6. 正四面体ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则EF与CD所成的角等于（ ） A. B. C. D. 7. 一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则等于（ ） A. 4 B. 5