第三章_光的衍射简析.ppt

空间频率是有“方向性”的。 1/?只是光在波矢k方向上的“空间频率”。 对于空间任意方向的平面波： ?、?、?分别为波矢k在x、y、z方向的方向角。 其三个方向的空间频率分别为： 平面波可表示为： 对于沿任意方向传播的平面波，其波数与频率之间有如下关系： 在k方向上的三个分量中只有两个独立变量，只要知道了k在xoy平面上的两个分量，就可确定kz，从而也就确定了k。 因此，在任意z=z0的xoy平面上，平面光波的复振幅可表示为： 可见，一个平面光波的空间传输特性也可以用空间频率来描述。 通常称 随 的变化分布为 的空间频率谱，简称空间频谱（或角谱）。 对于衍射面上的二维图像信息，我们可以把它看作一个xoy平面上的复振幅分布 ，利用傅立叶变换将这个二维空间坐标函数分解为无数个形式为 的基元函数的线性组合。即： 空间频率谱 空?频 傅立叶变换 空间频谱分量的传播 在空间所有无源点上, 光波场复振幅必然满足亥母霍兹方程, 用空间频谱表示的单色平面波同样也满足: 其解可表示为: 这就是z处的空间频谱与z0处空间频谱之间的关系. 衍射问题的傅立叶变换方法 根据基尔霍夫衍射公式，在远场近似下，夫琅和费衍射场复振幅为： 如果令： 则上式可写为： 积分就是孔径平面上复振幅分布的傅立叶变换，其变换在空间频率 上的取值。 积分号前的相位因子对光强分布不起作用，因此，夫琅和费衍射光强分布可直接由衍射面函数E（x,y)的傅立叶变换求出： 近ｚ轴时表示为： 平面波具有线性相位因子，表示为： 用这种观点来看夫琅和费衍射光场的复振幅表达式： 近ｚ轴时表示为： 平面波具有线性相位因子，表示为： 因此，每一组空间频率(fx,fy,fz)对应着一列沿一定方向传播的平面波。反过来，如果空间一个平面上的复振幅可以分解为许多组空间频率成分，那么可以理解为有许多沿不同方向传播的平面波通过这个平面传播。 其中的线性复指数因子： 它正是傅里立叶变换的“基元函数”, 表示一个空间频率为(fx,fy)的平面波分量.(亦可称之为傅立叶分量)。各个空间频率的平面波被孔径函数加权,在频谱面上叠加, 形成孔径函数的空间频率谱. (即夫琅和费衍射图样). 于是，夫琅和费衍射的光场分布就等于衍射屏上孔径函数的傅里叶变换： 即“空间频率”。 忽略与积分变量无关的常数位相因子，夫琅和费衍射可以表示为： 傅立叶变换定理的光学实现: 利用透镜的傅立叶变换特性,可以利用光学手段快速、有效地完成二维空间的傅立叶变换运算。 E(x,y) E(fx,fy) 若单色平行光沿相反方向照射，即可实现傅立叶逆变换： 单色平面光垂直照射置于透镜前焦面处的衍射屏时，在透镜后焦面上即可得到物函数的频谱函数。 （1）线性定理： 用马赫-泽德干涉仪光路即可实现线性变换和叠加： S L1 T1 T2 P1 P2 L2 F{T1+T2} fx (2) 相移定理： 当空域坐标平移，物函数变成 时，相应的频谱函数为： 这说明物函数在空间中的平移，使其频谱函数产生了一个相移。 （3）缩放定理： 当物函数在空域内线度缩放，变成 时，其频谱函数变为： 即频谱函数的形式不变，只是空间频率相应地缩小，幅度整体下降了。 （4）帕塞瓦尔(Parseval)定理 这就是光学傅立叶变换中的帕塞瓦尔定理，它说明在光学傅立叶变换中，光的能量是守恒的。 （5）卷积定理 若输入的是空域中两个函数的卷积，即二者的关系为： 则其频谱函数为： 反之亦然 （6）自相关定理： 若输入的物函数是某一函数的自相关函数，即： 则其频谱函数等于该函数频谱函数的绝对值的平方： 反之亦然 （7）傅立叶积分定理： 4f系统与光学傅立叶变换 4f光学成像系统: fy x3 f f f f O O’ O’’ L1 L2 x1 y1 fx y3 输入面 频谱面 输出面 几种常用函数的傅立叶变换： （１）高斯函数： （２）矩形函数： （３）三角状函数： 阿贝成像理论与空间滤波 1873年, 德国蔡斯公司的Abbes提出了关于相干成像的新理论( Abbes image theory): 相干成像过程由两步组成: 第一步: 平行光经过物平面产生夫琅和费衍射,在物镜的后焦面上产生一系列衍射斑, 即形成许多空间频谱; 第二步: 这些衍射斑作为次