勾股定理及其逆定理的应用.docVIP

勾股定理及其逆定理的应用 山东 石少玉 勾股定理及其逆定理在中考和数学竞赛中有十分广泛的应用，下面举例说明． 一、用于求线段的长 例1 如图1，四边形中，°，，则． 解：延长相交于点． ．，． 设，则，由勾股定理在中，可得 ，解得，即． 二、用于求角的度数 例2 如图2，在四边形中，，且，求：的度数． 解：设，则，连接， 为等腰三角形，． 在中，由勾股定理，得， 又，∴． 由勾股定理的逆定理知是直角三角形． ． 三、用于求面积 例3 如图3，在四边形中，，．求四边形的面积． 解：延长相交于点，则，从而． 由勾股定理可得． 又，， 由勾股定理可得． ． 四、用于判定三角形的形状 例4 若三角形的三条边满足关系式，则此三角形形状是　　　　． 解：∵， ∴，即． ∴或．∴或． ∴此三角形的形状是等腰三角形或直角三角形． 五、用于证明两线段垂直 例5 如图4，正方形中，，求证：． 证明：连接，设，则， ∵，， ，． 为为直角三角形（勾股定理的逆定理）． ． 六、用于证明几条线段间的等量关系 例6 如图5，在中，，是上的点． 求证：． 分析：过点作的高，则．利用勾股定理再求证． 证明：过点作的高， ， ． ， ． 而 ． ． 七、用于求值 例7 如图6，在中，，边上有100个不同的点， 　　记，求的值． 分析：作的高，利用勾股定理求出各个的值是解决本题的关键． 解：作垂足为， ． 设， 则 ． ． 图1 图2 图3 1 2 图4 图5 图6