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功“体” 王麟宝 方 红 （高中部） 功“体”的提出： 物理学中的各物理规律均可用数学表达式来表述，而任何数学表达式又可用坐标系来描述，因此，在研究物理规律的过程中常借用坐标系，使原来较为复杂的问题简单化，物理规律变得更明了、更直观。如匀加速直线运动的瞬时速度与时间的关系可用数学表达式Vt V0+at来表述，建立平面直角坐标系如图（1），坐标系中的斜线描述了瞬时速度随时间变化的规律（叫速度图线）；斜线的斜率表示了该匀加速直线运动的加速度（）；斜线与时间轴所围面积的值表示了运动物体在时间t内所发生位移[S （V0+Vt）t/2] 的大小；面积在时间轴上方表示位移为正，面积在时间轴下方表示位移为负。物理学中把这图象叫做速度图象。 功是物理学中的一个重要物理量，功是力对位移的累积，功的大小等于力和在力方向上位移的乘积，可用数学表达式W FScosθ（θ为F与S的夹角）来表示，则功也一定能用特定的坐标系来描述。 功“体”的建立： 在建立功“体”前我们先做如下约定： 1、取空间直角坐标系xyz，用x轴表示速度V称之为速度轴，用y轴表示时间t称之为时间轴，用z轴表示力F称之为力轴，通常把速度轴和时间轴配置在水平面内，而力轴则是铅垂线, 三轴线把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有x（V）轴、y（t）轴与z（F）轴正半轴的那个卦限称为第一卦限，其它第二、第三、第四卦限在xOy面的上方，第五、第六、第七、第八卦限在xOy面的下方，第五卦限在第一卦限下方。因时间始终为正，所以在建立功“体”中只需空间直角坐标系中的第一、第二、第五、第六卦限，如图（2）所示。所有矢量的方向均由右手定则按逆时针方向确定为正方向。 2、在V—t平面内的速度图线与时间轴所围面积（位移）的方向可用右手螺旋定则来确定，即用右手握住力（z）轴，四指的方向由速度（x）轴转向时间（y）轴，则大姆指的指向为所围面积（位移）的正方向。所围面积（位移）在时间轴前方，面积（位移）的方向与力轴同向 为正 ；所围面积（位移）在时间轴后方，面积（位移）的方向与力轴反向（为负）。 现借用下例来建立功“体”； 一质量为m的物体，在水平恒力F的作用下，沿光滑的水平面由静止开始作匀加速直线运动，求经过t秒水平恒力所做的功。 建立如图（3）的空间直角坐标，物体作匀加速直线运动的速度与时间的关系式为Vt at，在V—t平面内可作速度图象OA，OA的斜率为物体运动的加速度（a F/m tgα），速度图线0A与时间轴所围面积表示在时间t内的位移，由前述约定，位移的方向指向F轴的正方向，表示力与位移的方向相同，则水平恒力在t秒内做功为W FS，其中，S为柱体的底面积，F为柱体的高，FS为柱体的体积，在数值上等于功的大小，柱体在第一卦限内表示了力对物体做正功。在这特定的空间直角坐标系中的柱体较好地描述了力对物体所做的功。我们可把这个柱体定义为功“体”，这图象叫功“体”图象。 功“体”图象还能描述瞬时功率和冲量： 由瞬时功率公式Pt FVt，可得功“体”上任一垂直t轴的切面的面积值的大小等于切面与时间轴相交时刻，力对物体做功的瞬时功率的大小，图（3）中切面A`t`B`C`的面积的值S t`B`×t`A` FVt` Pt`，表示在时刻t`，力对物体做功的瞬时功率的值。 由冲量公式I Ft，可得功“体”在t—F平面内的投影面积值的大小等于力F在时间t内对物体的冲量的值，图（3）中OtBF的面积的值S OF×Ot Ft I，表示在t时间内力对物体冲量值。用右手螺旋定则可确定冲量的方向，右手握住速度轴，四指由时间轴转向力轴，大姆指的指向为冲量的正方向，OtBF的面积表示的冲量方向指向速度轴的正方向。 功“体”的应用： 恒力对物体做功： 恒力对物体做功可分为1）恒力方向与位移方向在同一直线上；2）恒力方向与位移方向有一夹角θ两种情况。1）已说明，现对2）加以证明： 证明：恒力F与位移S方向成θ角时，由静止开始经时间t，力对物体所做功的大小等于柱体OAtB`F平A`的体积。 证明：物体在恒力F的作用下，作初速为零的匀加速直线运动，其速度图线如图（4）中在V—t平面内的斜线OA，经时间t发生的位移S的大小为直角三角形 OAt的面积，方向与F轴方向相同。 在图（4）的功“体”图象中不难看出，力F在与位移方向上的垂直分量F垂 Fsinθ，对物体不做功；力F在与位移方向上的平行分量F平 Fcosθ，对物体做功。做功大小的W FScosθ，其中F平 Fcosθ O F平，S为直角三角形OtA 的面积，所以W FScosθ在数值大小等于柱体OAtB`F平A`的体积。 四边形AtB`A`的面积在数值上等于力F在时刻t的瞬时功率；四边形OtB` F平的面积在数值上等于力F在时间t内对物体的冲量，方向与速度方向相同。读者可自已证明