2.4.1平面向量数量积的物理背景及其意义12.pptVIP

* 平面向量的数量积的物理背景 及其含义 向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角． O A B a b O A B b a 若 ，a 与b 同向 O A B b a 若 ，a 与b 反向 O A B a b 若 ，a 与b 垂直， 记作 　 复习回顾 问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 平面向量的数量积的定义 说明： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1） 问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？ 实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数，是一个数量 问题4：影响数量积大小的因素有哪些？ 这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 夹角 的范围 正 负 0 数量积符号由cos?的符号所决定 平面向量的数量积的运算性质 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？ a⊥b a·b＝0 问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？ 当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ . 问题7：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？ ︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ 问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？ （３）a · b ≤| a | · | b |. （１）a⊥b 　　a · b=0 . (判断两向量垂直的依据) 特别地， （２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | · | b |； 　　 当a与b反向时，a·b＝ －| a | · | b |. （４） 平面向量的数量积的运算性质 设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量： 例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 练习: 平面向量数量积的几何意义 向量a在b方向上的投影是什么？ 投影一定是正数吗？ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． ，过点B作 垂直于直线OA，垂足为 ，则 | b | cosθ O A B a b ︱a︱cosθ 说明： （2）投影也是一个数量，不是向量。 （1） O A B a b B O A a b O A B a b θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 当? = 0?时投影为|b| 当? = 180?时投影为-|b|. 问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 练一练： 类比实数的乘法运算律： 数量积的运算律： 关于向量的数量积运算： 平面向量的数量积运算律 数量积运算不满足乘法结合律。 交换律： 分配律： 思考１： a·b与b·a相等吗？为什么？ 思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c 　　　　与a·(b·c)相等吗？为什么？ 思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与 　　　　a·c＋b·c相等吗？为什么？ 问题９: 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律对向量是否