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第十五章应变分析 基本要求： 1．了解小变形分析中应变的定义及相关概念； 2．掌握平面问题和轴对称问题的应力、应变分析方法。 第一节 位移与应变 变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1， 我们把它们在变形前后的直线距离称为位移，如图15-1 a 中的MM1， 位移是矢量。在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量，用u、v、w 表示，或用角标符号ui 表示，如图15-1b 所示。 根据连续性假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有一阶偏导数，即 物体中某点产生了位移，还不表明物体产生了变形，只有质点间产生相对位移，才会引起物体变形。例如，与M 相邻质点M ′ (x+dx, y+dy, z+dz)在变形中产生位移矢量u′ ，即u +δu ，和M 相比， 产生了位移增量δu ，或M ′ 与M 之间相对位置变化量。如果δu = 0 ， 两质点间没有相对位移， MM′ 没有产生变形，仅仅产生了刚体移动。 图15-2a 中设单元体平面PABC 仅仅在xy 坐标平面内发生了很小的拉变形，变成了C B A P 1 。单元体内各线元长度都发生了变化，例如线元PB 由原来r 变成r1 = r +δr ，于是把单位长度的变化 定义为线元PB 的线应变。对于平行于坐标轴的线元分别有 又设：该单元体在xy 平面内发生了角度的变化(切变形)，图15-2b ，线元PC 和PA 所夹的直角缩小了φ ， 相当于C 点在垂直于PC 方向偏移了δrτ， 表明变形后两棱边PC 和PA 的夹角减小了φyx ， 称为工程切应变。 图15-2b 所示的φyx 可以看成是由线元PA 和PC 同时向内偏移相同的角度γxy 和γyx 而成，如图15-2c 所示，且 把γxy 和γ yx 定义为切应变。γxy 表示x 方向的线元向y 方向偏转的角度。 第二节 质点的应变状态和应变张量 如图15-3 所示，在直角坐标系中切取一平行于坐标平面的微分六面体PABC-DEFG，边长分别为rx、ry 和rz， 小变形后移至C B A P 1 ? G F E D 1 ， 即变成一斜平行六面体。这时，单元体同时发生了线变形、剪变形、刚性平移和转动。设单元体先平移至变形后的位置，然后再发生变形，其变形可以分解为 （1）在x、y、z 方向上线元的长度发生改变，其线应变分别为 z （2）单元体分别在x 面、y 面和z 面内发生角度偏转，产生切应变为 和一点的三个互相垂直的微分面上9 个应力分量决定该点的应力状态一样，质点的三个互相垂直方向上的9 个应变分量确定了该点的应变状态。已知这九个应变分量，可以求出给定任意方向上的应变，这表明对应不同坐标系应变分量之间有确定的变换关系。这9 个应变分量组成一个应变张量， 由于其中γij =γ ji ，故应变张量也是二阶对称张量，可用εij表示为 应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有： 存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用ε 1、ε 2 ε 3表示主应变，则主应变张量为 主应变可由应变状态特征方程： 求得。 存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且 对于塑性变形，由体积不变条件， I 1 =0 （3）在与主应变方向成ο 45 方向上存在主切应变，其大小为 若1 ε ≥ 2 ε ≥ 3 ε ，则最大切应变为 应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量 式中， ε ij ′ 为应变偏张量，表示变形单元体形状变化； δ ij ε m 为应变球张量，表示变形单元体体积变化。 （5）存在应变张量的等效应变 等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变。等效应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。 （6）与应力莫尔圆一样，可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。 第三节 小应变几何方程、应变连续方程 一、小应变几何方程 物体变形后，体内各质点产生了位移，并因此而产生应变。因此，位移场与应变场都是空间坐标的连续函数，可以用位移表示应变。下面先看图15-5 。 设单元体棱边长度为dx 、dy 、dz，它在xoy 平面上的投影为abdc ，变形后的投影移至a1 b1 c1 d1 , a 点变形后移到a 1点后，所产生的位移分量为u 、v，则b 点和c 点的位移增量为 根据图中的几何关系，可以求出棱边ac（dx）在x 方向的线应变x ε 为 以及棱边ab（dy）在y 方向的线应变 由图中的几何关系，可得 因为，其值远小于1，所以有 同理得 则工程切应变为 切应变为 按照同样的方法，由单元体在yoz 和zox 坐标平面上投影的几何关系，得其余应变分量与位移分量之间的关系式，