Euler方法与改进的Euler方法的应用.docVIP

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 Euler方法与改进的Euler方法的应用 一、问题背景 在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。 二、数学模型 在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。在本文中主要讨论的是给定初值条件的简单Euler方法和改进的Euler方法来求解常微分方程。 三、算法及流程 Euler方法是最简单的一种显式单步法。对于方程 考虑用差商代替导数进行计算，取离散化点列 ， 则得到方程的近似式 即 得到简单Euler方法。具体计算时由出发，根据初值，逐步递推二得到系列离散数值。 简单Euler方法计算量小，然而精度却不高，因而我们可以构造梯形公式 其中。这是一个二阶方法，比Euler方法精度高。但是上述公式右边有，因而是隐式差分方程，可以用迭代方法计算。初值可以由Euler公式提供，一般而言迭代一两次即可。在计算中的迭代公式为 容易看出这实际上是一种预估-校正方法。改进的Euler方法又称为Henu方法。 MATLAB实现过程： （1）简单Euler方法函数 function[t,x]=Euler(fun,t0,tt,x0,N) % MyEuler用前向差分的欧拉方法解微分方程 % fun表示f（t,x） % t0,tt表示自变量的初值和终值 % x0表示函数在x0处的值，其可以为向量形式 % N表示自变量在[t0,tt] 上取得点数 h=(tt-t0)/N; % 步长h t=t0+[0:N]*h; % 时间t x(1,:) = x0; % 赋初值 for k = 1:N f=feval(fun,t(k),x(k,:)); f=f; x(k+1,:) =x(k,:)+h*f; end 将文件以文件名Euler.m保存。 （2）改进的Euler方法函数 function [t,x]=GjEuler(fun,t0,tt,x0,N) %改进的Euler方法解微分方程 h=(tt-t0)/N; %计算所取的两离散点之间的距离 t=t0+[0:N]*h; %表示出离散的自变量x x(1,:)=x0; for i=1:N f1=h*feval(fun,t(i),x(i,:)); f1=f1; f2=h*feval(fun,t(i+1),x(i,:)+f1); f2=f2; x(i+1,:)=x(i,:)+1/2*(f1+f2); end 将文件以文件名GjEuler.m保存。 四、计算结果与分析 计算常微分方程的初值问题 编写函数文件，打开Editor编辑器，输入以下语句并以文件名GjEuler.m保存。 function f=GjEuler(t,x) f=1/t*(x^2+x); 再编写主函数文件，打开Editor编辑器，输入下列语句并以文件名GjEuler_main.m保存文件。 function GjEuler_main() % 比较改进Euler法、简单Euler法及文芬方程符号解 [t,x]=Euler(GjEuler_fun,1,3,-2,15); % Euler方法¨ [tgj,xgj]=GjEuler(GjEuler_fun,1,3,-2,15); % 改进的Euler方法的解 sh=dsolve(Dx=1/t*(x^2+x),x(1)=-2,t); % 符号计算 for k=1:16 % 时间离散化 st(k)=t(k); % 取数值方法的离散的时间 sx(k)=subs(sh,st(k)); end plot(t,x,*,tgj,xgj,+