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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 创意平板折叠桌 摘要 桌子是人们生活中的必需品，随着人们生活水平和欣赏水平的提高，对桌子的设计者提出了更高的要求。不仅要求方便实用，而且要求造型美观、大方，可折叠桌子就是其中的一美。因此对折叠桌子的相关问题进行研究是非常必要的，本文主要讨论折叠桌的折叠动态过程、最优设计加工参数和创意折叠桌的设计等问题。 问题一，在长方形平板尺寸、木条宽度、钢筋固定位置、桌子高度等参数给定的条件下，折叠桌的动态变化可由各桌腿与桌面的夹角变化来描述。本文建立了合理的坐标系，使各桌腿平行于某一坐标平面，并将其投影到该坐标平面。建立了其余桌腿和桌面的夹角与最外侧桌腿和桌面夹角之间的变化关系模型，以此来描述折叠桌的动态变化过程。并由此计算出了此折叠桌的设计加工参数和桌腿木条开槽长度。 为了描述桌腿边缘线，在所建的坐标系中推导出了变化过程中各桌脚边缘点的空间坐标。将这些点投影到合理的两个坐标平面上，利用spss软件对投影点进行曲线拟合，得到两个投影曲线方程组，在空间中这两个方程组所表示的柱面方程交线即为桌脚边缘线。 问题二讨论了最优设计加工参数问题。在任意给定的设计要求下，平板宽度为桌面直径，给出了桌面上最短木条长度与平板长度之间的关系。同时考虑到稳固性因素，建立用材最少模型。分析了开槽长度与加工方便之间的关系，结合稳固性，建立了开槽总和与钢筋位置之间的关系模型，并给出此加工方便模型的优化模型。最后，将题目中所给数据代入相关模型中实例求解确定出最优设计加工参数。 针对问题三，改变桌面形状并且给出相关数据，通过问题二中模型进行求解。确定出最优加工参数，建立动态变化方程。最后通过matlab画出动态变化示意图。 关键词：动态变化 最优加工参数 稳固性 一．问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度试建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长方形平板尺寸，每根木条宽，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为。建立模型描述折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的描述。，桌面直径的情形，确定最优设计加工参数。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。试给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 二．基本假设 1.假设加工时不损耗材料。 2.木条之间的缝隙忽略不计。 3.假设问题二中木条宽度为。 4.忽略钢筋直径对问题的影响，即将其看作一点。 三．符号说明 符号含义 符号表示 符号含义 符号表示 平板长度 桌腿长度 (=1,2,…,10) 平板宽度 圆桌面 木条半长度 (=1,2,…,10) 桌高 开槽长度 (=2,3,…,10) 平板厚度 钢筋位置到最长 桌脚边缘点距离 木条宽度 钢筋位置到 铰链连接点距离 (=2,3,…,10) 圆桌面半径 所截木条条数取整 或 四．问题一模型建立及求解 4.1折叠桌动态变化的模型建立与求解 如图1，以桌面圆心为原点，建立如图2所示空间直角坐标系。 图1 折叠桌展开图 图2 折叠桌坐标系 为了确定折叠桌圆桌面上各木条半长度，只需考虑平面即可，见图3。 图3 折叠桌面坐标示意图 根据勾股定理，有： (=2,3,…,10) (1) 其中，(=2,3,…,10)为圆桌面上由外向内第根木条半长度，为圆桌面半径(即长方形平板宽度的一半)，为木条宽度。代入数据