5方程根的存在性问题.docVIP

五、方程根的存在性问题 1. 设在上二阶可导，且，，当时, ，证明：在内，方程有且仅有一个实根． 证明 因当时，，因此单调减少；从而，于是，又有严格单调减少；再由知，最多只有一个实根． 下面证明必有一实根；当时， ， 即 ， 上式右端当时，趋于，因此当充分大时，，于是存在，使得，由介值定理存在，使得． 综上所述，知在有而且只有一个实根． 2. 设在上二阶连续可导，，且存在使得，又 ，，证明：有且仅有两个零点. 证明：（1）因为，由极限的保号性，知必存在，使得，又因为，则可得，从而 ； 同理可得，存在，使得；利用零点定理，可得在和内各至少有一零点； （2）下面证明其唯一性，假设存在三个或三个以上的零点，取其中三个，则，在 上分别应用罗尔定理得： 再次应用罗尔定理： 与矛盾，即假设不成立.所以有且仅有两个零点. 3. 对参数，讨论曲线与交点的个数． 解：令，即，考虑方程 ， ① 令，则 ， ， ② 易得有唯一驻点，且由②可知，是的最小值．注意到，于是： 当时，方程①有两解，曲线有两个交点． 当时，方程①有一解，曲线有一个交点． 当时，方程①无解，曲线没有交点． 4. 设当时，方程有且仅有一个解，求的取值范围. 解：设,则； 1）当时，单调减少，又，（其中时，.）所以，当时，只有一个零点. 2）当时，令，得唯一驻点且； 于是，是内的极小值，也是最小值, 当得，此时方程有且仅有一个根; 当得，此时方程无根; 当得，方程恰有两个根. 综合上述分析知，当或时，方程有且有一根. 5. 设在上二阶可微，，，则方程在内至少有一个根 . 分析；方程在一个区间有根的问题往往要用零点存在定理去判断，因此验证该方程在两端点值的符号是解决问题的关键。 证明：因为，不妨设，；于是，由 ， 故，使 ， 从而，使；同理由，故，使 ， 从而，使得；而在上可微，所以在上连续，由零点存在定理知，，使. 于是在及上分别利用罗尔定理得，存在，使得 ，， 再在上用罗尔定理得，，使.即方程在内至少有一个根.