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二元一次不等式与线性规划 二元一次不等式表示平面区域: 先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式＞0的解为坐标的点的集合所在的平面区域.由得,令,则点在直线,即上,点在点的上方,即在直线的上方.所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是在直线右上方的平面区域. 一般地,二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域. 说明:①二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上, ②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 推导:举例说明. 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法1:记住下列一般性结论: (1)若,则表示直线上方的平面区域. 表示直线下方的平面区域. (2)若,则表示直线下方的平面区域. 表示直线上方的平面区域. (3)若,则表示直线右侧的平面区域. 表示直线左侧的平面区域. 若,则表示直线左侧的平面区域. 表示直线右侧的平面区域. 方法2:取特殊点检验; 原因:由于对在直线的同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点,从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当时,常取原点检验. 对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域. 求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤: ①先依不等式作直线,注意虚实; ②取点:在直线的某一侧取一点; ③确定符号,即确定直线某一侧的符号; ④若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分. 线性规划问题： 引例: 已知且,求的取值范围. 错解: 由 而利用不等式性质得. 正解: 由 而 所以 错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习----线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了. 基本概念： 设,式中变量满足下列条件: ,求的最大值和最小值. 线性规划的基本概念: 线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量的限制条件称为约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量的约束条件,这组约束条件都是关于的一次不等式,故又称线性约束条件. 线性目标函数： (关于变量达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式,叫线性目标函数.(例如关于的解析式：等等的叫做目标函数). 线性规划问题： 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 可行解、可行域和最优解： a. 满足约束条件的解叫可行解． b. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线的斜率为，而且目标函数的直线的斜率为,则当时，直线与相交的顶点一般是最优解;特别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行()时,其最优解可能有无数个. c. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 线性规划问题： 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. 用图解法解决线性规划的一般步骤： 画: 画出约束条件表示的可行域; 移: 作出目标函数,并平移确定出最优解的位置; 求: 根据直线方程求解出最优解; 算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值); 特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格. 实际问题中的线性规划： (1)建模: 注意审题,根据题意列出线性规划模型; (2)求解: 利用图解法求解模型(注意实际意义). 【经典例题】 【例1】设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】设且满足，则的最小值为 ； 若又满足的取值范围是 . 【例3】设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值. 【例4】设为坐标原点，，若点满足，则的最小值为 A．????? B．2??? C．3??? ?D． 【例5】已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（ A ） A． B． C． D． 【易错题】 【例