第二节全微分.pptVIP

由微分定义 : 例3. 设 作业 P152 5 2 , 3 ; 6 2 , 4 , 6 ；15 P154 17 3 , 4 * 第十二章 第二节 一元函数 y f x 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对二元函数的全增量是否也有类似这样的性质？ 全微分 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z f x, y 在定义域 D 的内点 x , y 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 x, y 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f x, y 在点 x, y 可微 , AΔx+BΔy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. 2 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: 1 函数可微 函数 z f x, y 在点 x, y 可微 得 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即 定理1 必要条件 若函数 z f x, y 在点 x, y 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 0,0 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 充分条件 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以函数 在点 可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到 , 故有 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 的全微分为 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算函数 在点 2,1 处的全微分. 解: 例2. 计算函数 的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 在 可微的充分条件是 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 例2. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 利用轮换对称性 , 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 L. P245 例2 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 在点 0,0 可微 . 例4 在点 0,0 连续且偏导数存在, 续, 证: 1 因 故函数在点 0, 0 连续 ; 但偏导数在点 0,0 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数 所以 同理 极限不存在 , 在点 0,0 不连续 ; 同理 , 在点 0,0 也不连续. 2 3 题目 目录 上页 下页 返回 结束 4 下面证明 可微 : 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令 则 题目 目录 上页 下页 返回 结束 高阶微分 那么它是可微的，且有 若z还有二阶连续偏导数, 那么 也是可微的. 题目 目录 上页 下页 返回 结束 从而 可微。 我们称 的微分为z的二阶微分，记为 一般地， 二阶及二阶以上的微分统称为高阶微分。 于是z f x,y 的二阶微分为 对于自变量x,y总有 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 那么一阶、二阶微分公式可以表示为 若将 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 看作求偏导数的运算符，并约定 同样地约定：p, q 1, 2, 3, ? 对n元函数 不难用数学归纳法证明高阶微分公式 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 也成立着各阶微分公式 例5 设 ，计算 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *