第1章线性空间和线性变换.docVIP

第1章 线性空间和线性变换 1-1 试证：所有n阶对称矩阵组成维线性空间；所有的n阶反对称矩阵组成维线性空间. 1-2 在中，求向量在基 ， ， 下的坐标. 1-3 在中求矩阵 在基，，，下的坐标. 1-4 试证：在中矩阵 ，，， 线性无关，并求在基，，，下的坐标. 1-5 设是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式 在基，，，下的坐标. 1-6 已知中的两组基 ， ， 与 ， ， 求：由基，，，到基，，，的过度矩阵，并求向量在基，，，下的坐标. 1-7 已知 ， ， 求与的和与交的基和维数. 1-8 已知是齐次线性方程组 的解空间，是齐次线性方程组 的解空间，试求： 与的基与维数 的基与维数 的基与维数 1-9 已知是齐次线性方程组 的解空间,，其中，，，试求： 与的基与维数 的基与维数 的基与维数 1-10 已知， 试求：与的基与维数 的基与维数 的基与维数 其中，， ， 1-11 设是n维线性空间的一个线性变换，对某个有，，试证：，，，，线性无关. 1-12 若n维线性空间中线性变换使得对中的任何向量都有，，求在某一基下的矩阵表示. 1-13 设…，线性无关，且 + =， 试证：向量组的秩=矩阵的秩. 1-14 设是线性空间的线性变换，它在中基下的矩阵表示为 求在基下的矩阵表示. 求在基下的核与值域. 1-15 设线性变换在基，，下的矩阵表示是 求在基，，下的矩阵表示. 求的核与值域. 1-16 求矩阵的列空间与核空间. 1-17 试证：其中表示矩阵的迹. 1-18 试证：是的特征值. 1-19 设，试证：的特征值只能是+1或-1. 1-20 设，试证的特征值只能是0或1. 1-21 已知可逆矩阵的特征值和特征向量，试求的特征值和特征向量. 1-22 已知，试证： 1-23 求矩阵的特征值和特征向量. 1-24 试证：中的一组向量（矩阵） 是线性无关的. 1-25 试证：中的向量（矩阵）组 是线性相关的. 1-26 试证：线性空间 是n维的，并求在基下的坐标. 1-27 已知 求的核空间的两组基. 1-28 在中，求向量在基 ， ，， 下的坐标. 1-29 在中，求在基，，，下的坐标. 1-30 在中，与为两组基，求前一组基到后一组基的过渡矩阵. 1-31 在中，求由基到的过渡矩阵，其中 与 并求向量在下的坐标. 1-32 设 试求：的基与维数； 的 基与维数. 1-33 已知与分别是方程组与方程组的解空间： 求交空间的基与维数. 1-34 设 试求：的基与维数；的 基与维数. 1-35 设 ，映射由下式确定 试求在基与基 下的矩阵表示. 1-36 求线性映射: 在基与基下的矩阵表示. 1-37 求线性映射 在基与基下的矩阵表示. 1-38 设线性映射在基与基的矩阵表示为 求：的核子空间的基与维数. 的值域的基与维数. 1-39 设中线性变换将基 变为基 求在基下的矩阵表示为. 求向量及在基下的坐标. 求向量及在基下的坐标. 1-40 已知是中一组基.中线性变换满足. 求在下的矩阵表示.