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大道至简话微积分计算 【摘要】从如何降低学习第一换元积分法难度上探寻微积分计算，让初学第一换元积分法者能体会到学习由厚到薄的过程，其中复合函数求导法则与复合函数微分法则若能大道至简，则在降低学习第一换元积分法难度上起到了不可替代的作用，达到化难为易、前后紧密衔接的效果。微分计算无外乎求导数或求微分，是从左等于右；积分计算是微分计算的逆运算，是从右等于左，当只写出f（x）的一个原函数F（x）时为凑微分，当写出f（x）的全体原函数F（x）+C时为f（x）的不定积分。微积分计算的关键是求微分与凑微分，这在分部积分法中体现得淋漓尽致。 【关键词】大道至简 求微分 凑微分 从左等于右 从右等于左 一、大道至简话前后衔接 教科书中积分部分f（x）的一个原函数用F（x）表示，而微分部分涉及到f（x）的一个原函数也不提F（x），前后不统一，衔接不紧密。 （一）由导数基本公式话前后衔接 把导数基本公式抽象出来写就是：■ F（x） f（x）。 需要说明的是，上面等式中特意采用了两种导数的记法，即■，F（x），虽然F（x） f（x）简单，而■ f（x）麻烦，但对理解下面的2很有帮助，说明前人发明的导数记号各有各的功能，都需要掌握，为简而简的做法不可取，即只介绍一种简单导数的记法不可取。 （二）由微分基本公式话前后衔接 把微分基本公式抽象出来写就是：dF（x） f（x）dx。 二、大道至简话导数计算 （一）深化导数基本公式 把导数基本公式深化出来写就是：■ F（u） f（u），其中u既可以是中间变量，也可以是自变量。 （二）深化导数基本公式的意义 深化导数基本公式的意义有三， 意义一：强化了导数基本公式； 意义二：当u是中间变量时，即■ F（u） f（u）就是复合函数求导法则中先对中间变量求导的环节，活学活用了复合函数的求导法则； 意义三：容易接受复合函数微分法则、第一换元积分法（见后面）。 例1 设F（x） ■，求■。 解 ■ F（■）（-■） ■ -■。 此题为微分计算中的求导数，即从左等于右，先利用复合函数求导法则，其中u ■，再利用已知条件F（u） ■，整理后即得上述结果。 例2 设■ ■（x 1），求F（x）。 解 因为■ ■ -■，所以■ -■，其中u x2，即■ -■，故F（x） -■。 此题为求导的逆运算，即从右等于左，亦即谁对x的导数是-■，实质为凑微分。 三、大道至简话微分计算 （一）深化微分基本公式 把微分基本公式深化出来写就是：dF（u） f（u）du，其中u既可以是中间变量，也可以是自变量。 （二）深化微分基本公式的意义 深化微分基本公式的意义有三， 意义一：强化了微分基本公式。 意义二：容易接受复合函数微分法则：dF（u） f（u）du。 意义三：容易接受第一换元积分法（见后面）。 二、三中介绍的导数与微分基本公式的深化，一方面大道至简，另一方面温故而知新，最终试图让初学第一换元积分法者感觉难度不是很大，起到化难为易、前后紧密衔接的目的，请见下面的四。 四、大道至简话积分计算 （一）积分基本公式 把积分基本公式抽象出来写就是：■f（x）dx F（x）+c。 （二）深化积分基本公式 把积分基本公式深化出来写就是：■f（u）du F（u）+c，其中u既可以是中间变量，也可以是自变量。 （三）深化积分基本公式的意义 深化积分基本公式的意义有三， 意义一：强化了积分基本公式； 意义二：活学活用了深化的导数基本公式或深化的微分基本公式； 意义三：容易接受第一换元积分法（又叫凑微分法），即在深化积分基本公式中，若u ч（x），则■f[ч（x）]dч（x） F[ч（x）]+c，把其用在第一换元积分法（又叫凑微分法）中。 微积分计算的关键是求微分与凑微分，最后让我们享受分部积分法中的先凑微分，再求微分，即，直至得到满意答案。