2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义第3篇第3讲三角函数的图象与性质.docVIP

第3讲　三角函数的图象与性质 [必威体育精装版考纲] 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质. 知 识 梳 理正弦、余弦、正切函数的图象与性质 下表中kZ . 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 kπ，0 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 无 辨 析 感 悟 1．周期性的判断 1 教材习题改编 由sin 30°＋120° ＝sin 30°知，120°是正弦函数y＝sin x xR 的一个周期． × 2 函数y＝tan的最小正周期为. √ 2．判断奇偶性与对称性 3 函数y＝sin是奇函数． × 4 函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋ kZ ． × 3．求三角函数的单调区间 5 函数f x ＝sin －2x 与f x ＝sin 2x的单调增区间都是 kZ ． × 6 函数y＝tan x在整个定义域上是增函数． × 4．求三角函数的最值 7 存在xR，使得2sin x＝3. × 8 教材习题改编 函数f x ＝sin在区间上的最小值为－. √ [感悟·提升] 1．一点提醒　求函数y＝Asin ωx＋φ 的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω 0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解． 2．三个防范　一是函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ kZ ． 二是对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间 kZ 内为增函数，如 6 ． 三是函数y＝sin x与y＝cos x的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x＝，如 7 . 学生用书第54页 考点一　三角函数的定义域、值域问题【例1】 1 函数y＝的定义域为________． 2 当x时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． 解析　 1 法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 . 法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 ．定义域为 . 法三　sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，kZ， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，kZ. 所以定义域为. 2 y＝3－sin x－2cos2x ＝3－sin x－2 1－sin2x ＝2sin2 x－sin x＋1， 令sin x＝t， y＝2t2－t＋1＝22＋，t， ymin＝，ymax＝2. 答案　 1 　 2 　2 规律方法 1 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 ，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2 三角函数值域的不同求法 利用sin x和cos x的值域直接求． 把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin ωx＋φ 的形式求值域． 利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 【训练1】 2014·广州模拟 已知函数f x ＝，求f x 的定义域和值域． 解　由cos 2x≠0得2x≠kπ＋，kZ， 解得x≠＋，kZ， 所以f x 的定义域为. f x ＝＝ ＝＝3cos2x－1. 所以f x 的值域为.考点二　三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】 1 已知函数f x ＝sin xR ，下面结论错误的是 　　 ． A．函数f x 的最小正周期为π B．函数f x 是偶函数 C．函数f x 的图象关于直线x＝对称 D．函数f x 在区间上是增函数 2 如果函数y＝3cos 2x＋φ 的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 　　 ． A. B. C. D. 解析　 1 f x ＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数f x 是偶函数，B正确；由函数f x ＝－cos 2x的图象可知，函数f x 的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f x 的图象易知，函数f x 在上是增函数，D正确，故选C. 2