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特殊的平行四边形 一、作业检查： 二、教学目标：学习矩形、菱形和正方形 三、教学重难点：运用矩形、菱形和正方形的性质进行求解和证明 四、教学过程 菱形、矩形、正方形的有关概念 图形 形状 定义 判定 菱形 一组邻边相等的平行四边形叫菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 矩形 一个内角是直角的平行四边形叫矩形 一个内角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；三个内角都是直角的四边形是矩形。 正方形 一组邻边相等的矩形叫正方形 一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 菱形、矩形、正方形的性质 图形 形状 性质 边 角 对角线 对称性 菱形 对边平行，四条边都相等 对角相等 两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 中心对称轴对称 矩形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分且相等 中心对称轴对称 正方形 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角 中心对称轴对称 精典例题 例1 已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及A到BD的距离AE的长．设AD=xcm则对角线长（x+4）cm由，解得x=6（）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC． 此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC． 例?已知：如图，四边形是菱形是交于． 　　求证：=∠CBE． 证明：　ABCD是菱形， 　 CB=CD， CA平分BCD． 　 =∠DCE．BCE≌△COB（SAS）． ∴　 CBE=∠CDE． ∵　在菱形ABCD中，， ∴　∠AFD=∠CBE．例4 已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 证明：∵　 四边形ABCD是平行四边形， ∴　 AE∥FC． ∴　 ∠1=∠2． 又　 ∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴　 △AOE≌△COF． ∴　 EO=FO． ∴　 四边形AFCE是平行四边形． 又　 EF⊥AC， ∴　 AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． 例5 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F． 求证：四边形CEHF为菱形． 证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形． 五、随堂练习 1．已知边长为a的正方形，以它的对角线底作一个三角形，使其面积等于此正方形的面积，则三角形底边上的高为（ ） A、 B、2a C、 D、 2．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、对角线平分一组对角 D、对角线互相垂直 3．在下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称的图形是（ ） A、矩形 B、平行四边形 C、圆 D、等腰梯形 4．一菱形的一边上高的垂足是这边的中点，这菱形中的最大内角的度数是（ ） A、 B、 C、 D、 5．矩形ABCD中，DEAC，ADE=，那么ACD= 度。 6．如果梯形中位线长为15cm，一条对角线把中位线分成2：3两部分，那么梯形上，下底长分别为 、 。 7．正方形ABCD的对角线BD上有一点E，BE=BA，则DAE等于 度。 8.平行四边形的对角线AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F。求证：四边形AECF为菱形。 9.．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于O，AF平分BAC交BO，BC于E、F。求证：FC=2OE 10．已知：如图，矩形ABCD中，AE=CD，AB=2AD，求：EBC的度数。