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§3-4 换元积分法 换元积分法用的是积分规则 其中函数有反函数.它与凑微分积分法是同一个积分规则，只是“积分的方向”不同.换元积分法在求带有根式的无理函数的原函数时特别有效.例如 (甲)消掉根式(变成有理函数的积分) 若被积函数中含有根式，就令 [实际上是代入函数，] 则. 例13 [] （有理函数的积分） (换回到原来的自变量) 例14 ，其中 [用多项式除法或下注中的“拼凑”方法, 把假分式化成多项式与真分式之和] 因此， [分子上的是分母的导数] (换回原来的自变量) . 【注】 . (乙)消掉根式或(变成三角函数有理式的积分) 若被积函数中含有根式或()，就用“三角替换”消掉它们： 对于，令 或 ； 对于，令； 对于，令. 当然，求时，直接套用积分公式⑼就行了. 例15 其中，而 (图3-8) 因此，. 例16 求. 解 [套用积分公式(14)] 其中(图3-9)，而 所以 [不计常数] 其次， 其中，(图3-10)，而 所以 [不计常数] 与前一种情形不同，这里在最后的结果中要添上绝对值符号，因为当时，. 以后，我们将把例15和例16的结果作为积分公式: ⒃ ⒄ 遇到这种形状的积分，直接套公式就行了.例如， [套用积分公式(16)] [套用积分公式(17)] (你看懂上面的演算了吗?) 例17 求. 解 令（称它为半角替换或万能替换），则有 因此， [套用积分公式⑽] 【注】(当时) , (当时). 根据提示做习题 根据提示，请你接着把题做到底： 1. 答案：. 2. [因为同时含有根式和,所以令] 答案：. 3. 答案：. 4.（注意下面两题在做题方法上的不同） 答案：. 答案：. 5.（注意下面两题在做题方法上的不同） 答案：. 答案：. 6．（注意下面两题在做题方法上的不同） 答案：. 答案： 7. 答案：. 122 第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法 123 §3-4 换元积分法 t a x 图3-8 x a 图3-9 图3-10 t x a